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 Allgemeine Beschreibung von Erweiterungen zerspaltener Sequenzen |
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1848
 |  Themenstart: 2021-04-15
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathscr{C}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)
Hi,
sei $\C$ eine Kategorie mit Kern und Kokern. Gibt es eine konkrete Beschreibung einer Erweiterung $X$ von $X', X''$ in einer zerspaltenen kurzen exakten Sequenzen $$ 0 \to X' \to X \to X'' \to 0?$$ Die Kategorie der Gruppen $\mathbf{Grp}$ mit dem semidirekten Produkt zeigt ja, dass das allgemein nicht ganz so leicht wie in abelschen Kategorien funktionieren kann.
Das Beispiel zeigt auch, dass $X$ nicht sofort durch eine universelle Eigenschaft definiert werden kann, da es mehrere semidirekte Produkte geben kann.\(\endgroup\)
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Triceratops
Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6469
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-15
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Die Frage ist unklar.
1) Hat $\mathscr{C}$ ein Nullobjekt?
2) Beachte, dass die Kategorie der punktierten Mengen ein Nullobjekt, Kerne und Kokerne hat. Interesierst du dich wirklich für solche Beispiele, oder hast du vielleicht noch weitere Annahmen vergessen?
3) Wie definierst du "zerspaltend" hier?
4) Was meinst du mit "konkrete Beschrebung" genau?
5) Semidirekte Produkte haben durchaus eine universelle Eigenschaft. Siehe https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=249739&start=0#p1821150
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Profil
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1848
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-15
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathscr{C}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)
1) Sorry, hab ich vergessen mitzuschreiben. Ja, $\C$ hat Nullobjekte.
2) Ja, ich frag mich nur, ob man allgemein solche Sachen aufschreiben kann.
3) Ich würde sagen, sowas wie $X \to X''$ ist ein zerspaltender Epimorphismus (aber gerne auch andere Definitionen, die mit der Definition in abelschen Kategorien kompatibel sind und eine nette Theorie liefern würden).
4) Hm, das finde ich leider schwer zu konkretisieren. In $\mathbf{Mod}_R$ und $\mathbf{Grp}$ z.B. kann man ja Beschreibungen für ein solches Objekt angeben, also wäre die Frage, ob sowas allgemein existiert.
5) Ja, ich meinte eher, dass die Eigenschaft "$X$ ist eine zerspaltene Erweiterung" per se keine universelle Eigenschaft hat (z.B. sind $S_3$ und $C_2 \times C_3$ beides solche Erweiterungen von $C_2, C_3$.).
Edit: Zu 4), vielleicht kann man also eine Liste an universellen Eigenschaften angeben für solche Objekte.\(\endgroup\)
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