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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Falsche Definition von Körpererweiterung
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Universität/Hochschule J Falsche Definition von Körpererweiterung
Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-16


Hallo,
warum benutzt man in der Algebra immer die Definition, dass Körpererweiterungen mengentheoretische Inklusionen sein müssen (Bücher, Vorlesung,...)?
Was ich mir vorstelle ist, dass es dann wohl einfacher ist alles aufzuschreiben und den Homomorphismus nicht mit sich tragen muss.
Aber so wie ich es sehe, ist es komplett fehlerhaft es so zu machen.
Ich habe mehrere Gründe:

0) Die Definition mit den Einbettungen ist viel allgemeiner und breiter anwendbar. Jetzt würden einige sagen man kann es aber auf den Fall zurückführen, dass man eine mengentheoretische Inklusion hat. Das stimmt nicht ganz (ich glaube in den richtigen Kategorien hat man vielleicht eine Äquivalenz von Kategorien - siehe ganz unten).
Was man bei $f:K\hookrightarrow L$ machen kann ist, $L$ durch einen isomorphen Körper $L'$ ersetzen via $g:L\to L'$, wo $K$ eine mengentheoretische Teilmenge ist, und dass das offensichtliche Diagramm kommutiert. Man schränkt sich hier künstlich ein, was überhaupt nicht nötig ist. Ferner geht die Natur von $L$ kaputt. Bevor jemand sagt, dass die Konstruktion keinen Mehrwert hat und man einfach "identifizieren" kann: Oscar Zariski(!) und Pierre Samuel in ihrem Commutative Algebra Buch haben selbst genau das gemacht (Paragraph 13 - Identification of rings). Der Beweis ist natürlich so gemacht, dass man mengentheoretisch Elemente entfernt und disjunkt vereinigt etc. Obiges soll als Identifikation gerechtfertigt werden.
Algebra ist aber die Kunst der Struktur der Elemente und Objekte miteinander, nicht wie die Elemente geschrieben werden, wie es auch im Text bei Zariski&Samuel weiter unten steht (mehr oder weniger).

1) Die Beweise stimmen nicht mehr.
Man arbeitet mit Einbettungen und sagt am Ende wir identifizieren das mit dem.
Beispiel ist die Konstruktion vom algebraischen Abschluss. Man konstruiert eine Kette von algebraischen Körpererweiterungen $K_0 \hookrightarrow K_1 \hookrightarrow K_2 \hookrightarrow ...$ und will irgendwie das letzte Element als algebraischen Abschluss (Kolimes ist das Stichwort, wo man schon Hirnschmalz reinstecken muss). Was wird gemacht? Man sagt wir identifizieren die Bilder der Homomorphismen mit dem Ausgangskörper und erhalten eine Kette von mengentheoretischen Inklusionen $K_0 \subset K_1 \subset K_2 \subset ...$ und nimmt hierüber die mengentheoretische Vereinigung.
Anderes Beispiel: Es gibt nur einen endlichen Körper $K$ und $L$ der Kardinalität $p^n$ ($p$ Primzahl, $n\geq 1$). Man sagt, dass beide Körper der Zerfällungskörper vom Primkörper $\mathbb{F}_p$ ist. Ok, leider ist $\mathbb{F}_p$ nicht mengentheoretisch das gleiche bei beiden. Das Symbol 1 ist nur eine Schreibweise für ein Element innerhalb des Körpers, was eine bestimmte Eigenschaft hat. Der Primkörper $\mathbb{F}_p$ in $K$ kann mengentheoretisch was ganz anderes sein als $\mathbb{F}_p$ in $L$. Und die Definition von Zerfällungskörper basiert wieder auf mengentheoretischen Inklusionen. Mit Einbettungen wäre alles viel einfacher und klarer und sogar richtig.

2) Wenn man $f: K\hookrightarrow L$ hat, sagt man oft wir identifizieren das Bild von $f$ mit $K$ und können $K\subset L$ schreiben. Aber was wenn ich einen Körper habe und $K$ in sich selbst einbette? Wäre $f:K\hookrightarrow K$ nicht um einiges besser als $K\subset K$?

3) Mit dieser Vorgehensweise wird verschleiert was überhaupt die Idee von Algebra ist. Wenn ich $K\subset L$ sehe, denke ich mir: Ok die Elemente von $K$ kommen auch bei $L$ vor. Wenn ich $K\hookrightarrow L$ sehe, dann denke ich: die algebraische Struktur von $K$ taucht innerhalb von $L$ selbst auf, nur mit anderen Symbolen. Das ermöglicht in meinen Augen neue Blickwinkel. Etwa wie bei 2) schon, dass eine Struktur innerhalb sich selbst wieder vorkommen kann, was an die fraktale Geometrie erinnert, nur innerhalb der Algebra.



Was haltet ihr davon?
Gibt es ein Buch, dass mit Einbettungen arbeitet statt Inklusionen?


Edit: Ich habe gerade gesehen, dass wir eine Äquivalenz von Kategorien haben zwischen der Kategorie der mengentheoretischen Körpererweiterungen von $K$ und der Kategorie der Einbettungen von $K$ in einen anderen Körper. Wären damit alle Beweise gerettet? (Die stimmen wahrscheinlich sowieso, aber ich meine ob sie als rigoros angesehen werden können hiermit). Auch wenn es geht, bleibe ich bei der Meinung, dass Einbettungen viel besser sind.



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jester33
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-16


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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)
Hi,

2021-04-16 12:36 - Red_ im Themenstart schreibt:
warum benutzt man in der Algebra immer die Definition, dass Körpererweiterungen mengentheoretische Inklusionen sein müssen (Bücher, Vorlesung,...)?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)

ich glaube nicht, dass das "immer" der Fall ist. Es wird vor allem (leider) in einführenden Büchern und Vorlesungen so gemacht, wenn die Studenten noch nicht so gut mit Morphismen umgehen können. (Wurden nicht bei euch in kommutativer Algebra Ringerweiterungen bereits mit Morphismen definiert?)
Wenn es in fortgeschrittener Literatur/Vorlesungen gemacht wird, dann wird oft stillschweigend $\hookrightarrow$ statt $\subseteq$ gemeint.

Aber in der modernen Algebra ist eigentlich immer $\hookrightarrow$ gemeint.

2021-04-16 12:36 - Red_ im Themenstart schreibt:
Es gibt nur einen endlichen Körper $K$ und $L$ der Kardinalität $p^n$ ($p$ Primzahl, $n\geq 1$). Man sagt, dass beide Körper der Zerfällungskörper vom Primkörper $\mathbb{F}_p$ ist.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)

Man sagt (wieder: manchmal stillschweigend), es ist der einzige Körper bis auf Isomorphie.

2021-04-16 12:36 - Red_ im Themenstart schreibt:
Ich habe gerade gesehen, dass wir eine Äquivalenz von Kategorien haben zwischen der Kategorie der mengentheoretischen Körpererweiterungen von $K$ und der Kategorie der Einbettungen von $K$ in einen anderen Körper. Wären damit alle Beweise gerettet?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)

Es kommt auf die Beweise an, ob sie direkt aus der Äquivalenz der Kategorien folgen (es müssen kategorientheoretische Eigenschaften sein). Aber eigentlich sollte kein Beweis wirklich anders sein als die Argumente, wo eine mengentheoretische Inklusion verwendet wird.

2021-04-16 12:36 - Red_ im Themenstart schreibt:
Gibt es ein Buch, dass mit Einbettungen arbeitet statt Inklusionen?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)

Z.B. im Stacks Project (siehe Tag 09FT, und ganz grundsätzlich Kapitel 9) wird es mit Morphismen aufgebaut.


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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19


Ja den kenne ich schon, der gefällt mir. Aber der hat wenig mit meiner Frage zu tun (der letzte Teil des Artikels ist aber leicht verbunden mit meiner Frage).

2021-04-16 13:03 - jester33 in Beitrag No. 1 schreibt:
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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19


Wurden nicht bei euch in kommutativer Algebra Ringerweiterungen bereits mit Morphismen definiert? schreibt:
Wenn es in fortgeschrittener Literatur/Vorlesungen gemacht wird, dann wird oft stillschweigend $\hookrightarrow$ statt $\subseteq$ gemeint.
Ja, da wurde es aber zu allgemein gemacht und alle Ringhomomorphismen $f: R\to R'$ als Ringerweiterungen definiert...
Und ja klar, aber dennoch unterscheidet sich die Galoistheorie erheblich von der Ringtheorie, sodass man es dort ja trotzdem machen müsste.
Das mit den weiterführenden Büchern wusste ich nicht, aber das ist schon mal gut. Ich habe in allen einführenden Büchern immer nur die mengentheoretische Definition gesehen (Bosch, Bourbaki Chapter 1-3, alte Vorlesungsnotizen, online, überall).


Man sagt (wieder: manchmal stillschweigend), es ist der einzige Körper bis auf Isomorphie.
Ja, mir ging es eher darum, dass der Beweis nicht sauber ist, wenn man mengentheoretische Inklusionen betrachtet.


Es kommt auf die Beweise an, ob sie direkt aus der Äquivalenz der Kategorien folgen (es müssen kategorientheoretische Eigenschaften sein). Aber eigentlich sollte kein Beweis wirklich anders sein als die Argumente, wo eine mengentheoretische Inklusion verwendet wird.
Gibt es eine Definition einer kategorientheoretischen Eigenschaft oder könntest du erklären was man damit genau meint?
Ja, das mit den Beweisen würde ich auch grob mal behaupten. Aber manchmal muss man noch mehr Energie reinstecken, wie man es bei dem algebraischen Abschluss gesehen hat hier.


Z.B. im Stacks Project (siehe Tag 09FT, und ganz grundsätzlich Kapitel 9) wird es mit Morphismen aufgebaut.
Gut, dass du das nennst, von da habe ich nämlich die Definition und habe alles über Körpertheorie überdacht. Der Beweis für die Existenz des algebraischen Abschlusses ist auch ganz anders als der standard Beweis. Fand das sehr cool.


Ach ja, was ich gerade gefunden habe im Bourbaki Algebra Chapter 4-7




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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)
2021-04-19 21:06 - Red_ in Beitrag No. 4 schreibt:
Ja, da wurde es aber zu allgemein gemacht und alle Ringhomomorphismen $f: R\to R'$ als Ringerweiterungen definiert...
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)

Ja, manchmal definiert man Ringerweiterungen als $R \to R'$ und nicht als injektive Funktionen, weil man für viele gute Eigenschaften (ganz, flach, treuflach, ...) als Erweiterung bloß $R'$ als $R$-Algebra benötigt. Aber es gibt wohl allgemein keinen Konsens darüber, was genau der Begriff Ringerweiterung aussagen soll. (Siehe hier.)

2021-04-19 21:06 - Red_ in Beitrag No. 4 schreibt:
Gibt es eine Definition einer kategorientheoretischen Eigenschaft oder könntest du erklären was man damit genau meint?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)

Hmm, ich kenne keine (außer vielleicht "wird von Äquivalenzen von Kategorien erhalten" 😃). Prinzipiell sind es die Eigenschaft, die nur die Daten von Kategorien verwenden, insbesondere wären das sowas wie kommutative Diagramme. Z.B. werden projektive Objekte durch Äquivalenz von Kategorien erhalten, da die definierenden Diagramme durch die Funktoren in beide Richtungen erhalten werden.

2021-04-19 21:06 - Red_ in Beitrag No. 4 schreibt:
Ja, das mit den Beweisen würde ich auch grob mal behaupten. Aber manchmal muss man noch mehr Energie reinstecken, wie man es bei dem algebraischen Abschluss gesehen hat
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)

Hmm, wieso findest du es nicht OK zu sagen: Man beweist wie in Bosch, dass es einen algebraischen Abschluss $K \subseteq \overline{K}$ gibt, also gibt es $K \to \overline{K}$?

Man muss ja nicht die vorherige Arbeit wegschmeißen. Halbwegs related: Es kommt z.B. auch öfter in der Mathematik vor, dass man einen kanonischen Morphismus konstruieren will, im Beweis aber eine Wahl treffen muss.


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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19


Ja, manchmal definiert man Ringerweiterungen als R→R′ und nicht als injektive Funktionen, weil man für viele gute Eigenschaften (ganz, flach, treuflach, ...) als Erweiterung bloß R′ als R-Algebra benötigt. Aber es gibt wohl allgemein keinen Konsens darüber, was genau der Begriff Ringerweiterung aussagen soll. (Siehe hier.)
Ah ok, das mit der Ringerweiterung ergibt dann wohl Sinn, danke!

Prinzipiell sind es die Eigenschaft, die nur die Daten von Kategorien verwenden, insbesondere wären das sowas wie kommutative Diagramme.

Ich verstehe ungefähr was du mit kategorientheoretischen Eigenschaften meinst. Aber diese intuitive Vorstellung würde mich genau auf den alten Thread hier bringen, was mir am Ende zu hoch wurde. Man sollte also immer konkret schauen, welche Eigenschaften unter Isomorphismen (oder Äquivalenzen) erhalten bleiben.


Hmm, wieso findest du es nicht OK zu sagen: Man beweist wie in Bosch...

Weil der Beweis in Bosch nicht komplett korrekt ist.
Man erhält keine Inklusion von aufsteigenden Körpern. Sondern Einbettungen. Und wie man fortfährt steht in diesem Thread hier. Man kann nicht so einfach vereinigen, wie im Bosch.


Halbwegs related: Es kommt z.B. auch öfter in der Mathematik vor, dass man einen kanonischen Morphismus konstruieren will, im Beweis aber eine Wahl treffen muss.
Ja, das erinnert mich an meine Bachelorarbeit, wo ich die Isomorphie \(V^{\ast}\otimes W \simeq \mathrm{Hom}(V,W)\) für endlich dimensionale $V$ und $W$ gebraucht habe, aber es ohne Basis nicht zeigen konnte 😁



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-20


Ich stimme _Red absolut zu. Eine Körpererweiterung von $K$ sollte als ein Homomorphismus von Körpern $K \hookrightarrow L$ definiert werden.
 
Aber es liegt schon daran, dass auch die übliche Definition einer Teilmenge nicht sinnvoll ist und oftmals durch injektive Abbildungen (Monomorphismen) ersetzt werden sollte. Wir schreiben zum Beispiel $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}$, auch wenn das aus der üblichen Konstruktion von $\mathbb{Z}$ (Äquivalenzklassen geordneter Paare natürlicher Zahlen) gar nicht hervorgeht. Das übliche Spiel mit den Identifikationen oder gar mit geschickter Komplementbildung (völlig fehl am Platz meiner Ansicht nach) ist aber überflüssig. Wichtig ist vor allem, dass man eine injektive Abbildung

$i : \mathbb{N} \hookrightarrow \mathbb{Z}$

hat (die zudem eine universelle Eigenschaft aufweist). Weil man die aber nicht immer hinschreiben will, unterschlägt man sie in der Notation.

Ich habe zu diesem Thema übrigens auf dem Matheplaneten bereits sehr viele Beiträge geschrieben (und vielleicht sollte ich die alten Threads einmal heraussuchen, bevor ich mich wiederhole), und ebenfalls ausführlich in Abschnitt 6.7 (ab Definition 6.7.15) in meinem Buch Einführung in die Kategorientheorie.

Es ist letztlich ein Feature von strukturellen Mengenlehren wie ZFC, dass wir eine Teilmengenrelation zwischen zwei beliebigen Mengen haben können. Wir würden damit sagen, dass jedes Element der einen Menge identisch mit einem Element der anderen Menge ist, aber die Gleichheit von solchen Elementen ergibt keinen Sinn, wenn sie unterschiedliche Typen besitzen. In ZFC kann man zum Beispiel unsinnige Formeln wie $\IF_2(x) \subseteq \IR$ bilden (und vielleicht sind sie manchmal sogar richtig, aber selbst wenn, es ist ohne Belang).

Es ist sinnvoller, Abbildungen zu nutzen, um Mengen miteinander in Beziehung zu setzen. Das entspricht dem Grundgedanken der Kategorientheorie. Injektive Abbildungen können wir also als den "kategoriellen" Ersatz für Teilmengen betrachten. In strukturellen Mengenlehren wie ETCS gibt es auch nichts anderes. Hier wird man also gleich auf die "richtige" Sichtweise gestoßen.

Für Körper und ihre Homomorphismen gilt genau dasselbe. Beziehungsweise, für jede Kategorie: Ein Unterobjekt eines Objektes $X$ ist ein Monomorphismus

$U \hookrightarrow X.$

Eine Erweiterung eines Objektes $U$ kann man entsprechend als einen Monomorphismus $U \hookrightarrow X$ definieren. (Etwas verwirrend ist, dass man in der Gruppentheorie den dualen Begriff nimmt: Eine Erweiterung von $U$ ist hier ein Epimorphismus $X \twoheadrightarrow U$.)

Wir sagen also nicht, dass $U$ "irgendwie" ein Unterobjekt von $X$ ist (es ist keine Relation!), sondern merken uns, auf welche Weise $U$ als Unterobjekt als $X$ aufgefasst werden kann: nämlich mit einem Monomorphismus $U \hookrightarrow X$.

Ein Morphismus zwischen zwei Erweiterungen $U \hookrightarrow X$, $U \hookrightarrow Y$ ist natürlich ein kommutatives Dreieck

<math>\begin{tikzcd}[column sep=20pt, row sep=25pt]
& U \ar[hook]{dl} \ar[hook]{dr} & \\ X \ar{rr} && Y \end{tikzcd}</math>

Die Erweiterungen eines Objektes $U \in \mathcal{C}$ bilden also eine volle Unterkategorie $U / \mathcal{C}$. Es gibt keine Notwendigkeit (weder in speziellen Beispielen, und schon gar nicht in dieser Allgemeinheit, wo es gar nicht möglich ist), diese Erweiterungen in irgendein mengentheoretisches Korsett reinzupressen.

Analog bilden die Unterobjekte von $X$ eine volle Unterkategorie von $\mathcal{C} / X$, die nun sogar dünn ist (siehe auch Lemma 6.7.16 in meinem Buch). Daher können wir also sagen, wann ein Unterobjekt $U \hookrightarrow X$ in einem anderen Unterobjekt $V \hookrightarrow X$ enthalten ist. Wir haben also immer noch eine solche Relation, sofern ein "gemeinsamer Kontext" in Form eines Objektes $X$ gegeben ist. Damit werden die eingangs erwähnten Typfehler verhindert.

Im Startbeitrag wurde auch das Beispiel einer Erweiterung der Form $K \hookrightarrow K$ angesprochen. Es gibt dafür auch ein wichtiges Beispiel in der Körpertheorie: Der Frobenius

$\Phi : K \hookrightarrow K, ~ \Phi(a) := a^p$

für Körper der Charakteristik $p$. Natürlich ist $\Phi$ isomorph zur "Inklusion" $K^p \hookrightarrow K$, aber diese Ersetzung muss man nicht vornehmen, und außerdem hat sich zumindest mir spätestens beim Studium des relativen Frobenius von Schemata gezeigt, dass das kontraproduktiv und verwirrend sein kann. Ich habe oben "Inklusion" geschrieben, weil ich hier auch keine Inklusion im üblichen ZFC-Sinne meine, sondern einfach die kategorielle Bild-Faktorisierung

$K \twoheadrightarrow K^p \hookrightarrow K,$
 
und $K^p \hookrightarrow K$ muss in dieser Sichtweise lediglich ein Monomorphismus sein. (Aber weil $\Phi$ ja bereits ein Monomorphismus ist, ist diese Zerlegung gar nicht nötig, also $\Phi$ ist bereits zerlegt und $\Phi$ ist sein eigenes Bild.)

Ja, es ist leider so, dass es relativ wenig Literatur gibt, welche diesen Standpunkt einnimmt, dass Körpererweiterungen als Homomorphismen definiert werden. Es gibt sicherlich welche, aber ich kenne spontan keine (mehr). (Nebenbei: In meinem Artikel über den Hauptsatz der Galoistheorie wird dieser Standpunkt "implizit" verwendet (ganz gut zu sehen etwa bei Lemma 15, was du vermutlich in keinem Algebrabuch in der Form findest), leider nicht ganz so "explizit" wie ursprünglich geplant, weil ich dann doch die Grundbegriffe über Körpererweiterungen nicht wiederholen wollte.) Mein Eindruck ist allerdings, und in diesem Zusammenhang hatte ich es auch erstmals gelernt, und das wurde ja auch schon geäußert, dass die analoge Definition in der kommutativen Algebra viel üblicher ist. Und von kategorientheoretischen Texten müssen wir natürlich nicht sprechen. Ich vermute, der Grund ist einfach, dass es sich in der kommutativen Algebra viel schneller "rächt", die "falsche" Definition zu benutzen, wogegen man sich in der Körpertheorie recht gut durchschmuggeln kann. Ein schönes Beispiel für das oben genannte Prinzip in der kommutativen Algebra ist die Einbettung

$R \hookrightarrow R[X]$

eines Ringes in seinen Polynomring. Jede mir bekannte Konstruktion von $R[X]$, wenn man sie in ZFC formuliert, produziert keine Teilmenge, aber das ist wie gesagt auch völlig belanglos. Trotzdem möchte man sicherlich $R \hookrightarrow R[X]$ als Ringerweiterung ansehen.

Ein völlig anderes Thema, aber es wurde gefragt, welche Eigenschaften unter Äquivalenzen von Kategorien (nicht nur unter Isomorphismen von Kategorien) invariant sind. Die präzise Antwort steht in Beispiel 3.6.18 in meinem Buch, allerdings ohne Beweis. Die klassische Referenz ist Freyd, Properties invariant within equivalence types of categories (1976). Die Eigenschaften müssen, vereinfacht gesagt, so aussehen, dass Morphismen $f : A \to B$ immer nur in Verbindung mit ihren Objekten $A,B$ auftauchen, und dass die Formel $A = B$ für Objekte nicht erlaubt ist.

Auch ein anderes Thema, aber weil es angesprochen wurde: Den Morphismus

$\alpha : V^* \otimes W \to \mathrm{Hom}(V,W)$
 
für Vektorräume bzw. allgemeiner für $R$-Moduln $V,W$ kann man abstrakt konstruieren, dafür ist keine Basis nötig. Nur für den Nachweis, dass er ein Isomorphismus ist, braucht man eine Basis. Aber es gibt auch abstraktere Argumente: Es ist $\alpha$ natürlich in $V$ und $W$, und beide Seiten sind additiv in $V$ und $W$. Für $V=R$ ist $\alpha$ ein Isomorphismus. Es folgt daher aus formalen kategorientheoretischen Argumenten, dass $\alpha$ auch ein Isomorphismus ist, wenn $V$ eine endliche direkte Summe von Kopien von $R$, also endlich-erzeugt frei ist, und noch allgemeiner wenn $V$ ein direkter Summand eines solchen Moduls, sprich endlich-erzeugt projektiv ist. Über $W$ muss man nichts voraussetzen.

Das war dann wohl der 5555. Beitrag. 😎



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Kezer
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2021-04-20 01:31 - Triceratops in Beitrag No. 7 schreibt:
Das war dann wohl der 5555. Beitrag. 😎


👍👍👍


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Red_
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Danke Triceratops, auch dein Beitrag war sehr hilfreich und lehrreich.
Ich hoffe, dass viele zukünftige Mathematiker deine Artikel und dein Buch lesen werden 😄



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Red_
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Ich wollte noch kurz etwas sagen, was ich vor Kurzem gesehen habe.
Tom Leinster definiert Körpererweiterungen auch via Einbettungen in seinem Skript hier und erwähnt auch, dass es wichtig sein wird, sobald man tiefer in die Materie geht. Jedoch behandelt er auch danach Körpererweiterungen als seien sie Inklusionen... (vielleicht vertue ich mich aber auch).

Das was ich angesprochen habe mit dem algebraischen Abschluss, dass man den Kolimes nehmen muss, wird auch von Keith Conrad in seinem kurzen Paper(?) hier erwähnt (Seite 2 ungefähr die Mitte). Hier wird auf "D. Dummit, R. Foote, “Abstract Algebra,” 3rd ed." verwiesen, aber auch die nehmen die mengentheoretische Vereinigung.



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