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Lineare Algebra » Vektorräume » Zu jeder Hyperebene existiert eine Linearform, die diese definiert.
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Universität/Hochschule Zu jeder Hyperebene existiert eine Linearform, die diese definiert.
mischka
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  Themenstart: 2021-04-16

Moin, ich soll folgende Aufgabe lösen: Ist \(H\) eine Hyperebene von \(V\) durch 0, so existiert eine von 0 verschiedene Linearform \(h:V\rightarrow K\) mit \(H=H_{h,0}\). Vorher, in Aufgabenteil a) den ich bereits gelöst habe, war definiert:\[ H_{h,\beta} := \left\lbrace x\in V \big| h(x)=\beta\right\rbrace \] Nun ist mein Problem, dass ich nach einer Babypause wieder in LinA II einsteige, und LinA I vor einer ganzen Weile bestanden wurde. Machen wir es kurz, ich steh völlig auf'm Schlauch und habe nicht die geringste Ahnung, wie ich das anstellen soll.


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ligning
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-16

Was ist denn die Definition einer Hyperebene? [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von ligning]


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mischka
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16

Ist \(V\) ein Vektorraum über dem Körper \(K\), dann ist eine Hyperebene eine Teilmenge \(H\subset V\) der Form\[H=p+U=\lbrace p+u|u\in U\rbrace\]wobei \(p\in V\) ein beliebiger Vektor und \(U\) ein Untervektorraum von \(V\) mit Kodimension 1 ist. Da hier die Hyperebene durch 0 geht, kann ich davon ausgehen, dass \(p=0\) ist. Somit muss ich zeigen, dass jeder UVR, dessen Dimension um eins kleiner ist, als der Vektorraum auch mit dem Kern einer Linearform beschrieben werden kann.


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ligning
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-16

$H$ ist ein UVR von $V$ mit Kodimension 1 genau dann, wenn $V/H$ die Dimension 1 hat. Siehst du da irgendwo $H$ als Kern einer linearen Abbildung? Diese ist keine Linearform, aber das ist nur ein kleines formales Hindernis, kannst du das beheben?


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mischka
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-16

\quoteon(2021-04-16 16:50 - ligning in Beitrag No. 3) Siehst du da irgendwo $H$ als Kern einer linearen Abbildung? \quoteoff Ehrlich gesagt, nein, wie gesagt, die Babypause hat mich etwas raus gebracht... Ich bin gerade damit beschäftigt, mir das Wissen über Faktorräume, das ich bereits vergessen habe, wieder anzueignen.


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ligning
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-16

Dann ein Hinweis: Zu einem Quotientenraum ("Faktorraum" ist etwas veraltet) $V/H$ definiert man eine kanonische Projektion $\pi\colon V\to V/H,\, v\mapsto v+H$. Deren Kern ist gerade $H$.


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