Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionalanalysis » Supremumsnorm nicht von Skalarprodukt induziert
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Supremumsnorm nicht von Skalarprodukt induziert
cphysik
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.10.2020
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-17 13:31


Hallo,

Es soll der Raum \(V = B(\mathbb{N}, \mathbb{C})\) aller beschränkten komplexen Folgen mit der Supremumsnorm \(||\varphi||_\infty = \sup\{|\varphi(n)| \text{ } | n \in \mathbb{N}  \}\) betrachtet werden. Es soll gezeigt werden, dass es kein Skalarprodukt geben auf \(V\) geben kann, welches diese Norm induziert.


Ich habe bereits den Satz von Jordan-von Neumann gefunden und weiß, dass ich ein Gegenbeispiel zu der Parallelogrammgleichung

für \(\varphi, \phi \in V\)

\(||\varphi + \phi||^2 + ||\varphi - \phi||^2 = 2 (||\varphi|| + ||\phi||)\).

finden muss.

In diesem Beitrag wurde ein ganz ähnliches Beispiel behandelt:
www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=183642&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F


In diesem Beispiel wurden einfach beide Funktionen durch eine Konstante auf \(||f||=1=||g||\) genormt.

Meine Frage ist, warum ergibt in diesem Beispiel \(||f+g||^2 = 1\) obwohl ja hier die Summe der Funktionen betrachtet wir, dass ja einfach die Summe der Suprema sein sollte oder ?

Vielen dank für Eure Hilfe im Voraus!
cphysik



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6866
Wohnort: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-17 13:48


Hallo cphysik,

2021-04-17 13:31 - cphysik im Themenstart schreibt:
Meine Frage ist, warum ergibt in diesem Beispiel \(||f+g||^2 = 1\) obwohl ja hier die Summe der Funktionen betrachtet wir, dass ja einfach die Summe der Suprema sein sollte oder ?

Dass das Supremum der Summe gleich der Summe der Suprema ist, stimmt i. A. nicht.

Aber in dem Beispiel muss wohl, wenn a = 0 und b = 1 ist, tatsächlich ||f + g|| = 2 stehen.




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
schnitzel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.02.2009
Mitteilungen: 205
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-17 13:50


Hi, dort steht Funktionen mit disjunktem Träger...
Gruß



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sismet
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.03.2021
Mitteilungen: 83
Wohnort: Heidelberg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-17 13:51

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
Hey,
in dem Bespiel haben $f$ und $g$ disjunkte Träger, also $\overline{\{x|f(x)\neq 0\}}$ und $\overline{\{x|g(x)\neq 0\}}$ sind disjunkt. Insbesondere gilt damit $\|f+g\|=1$ weil ja $\|f\|=\|g\|=1$ und wenn $f(x)\neq 0$ dann ist $g(x)=0$ und umgekehrt.

Ein ähnliches Beispiel kannst du für dein Problem verwenden.

Grüße
Sismet

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cphysik
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.10.2020
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-17 14:17


Hallo StrgAltEntf, schnitzel, Sismet

vielen Dank für die Antworten und die Erklärungen!

Ich kann ja meine Folgen auch so wählen, dass wenn \(\varphi(n) \neq 0\) dann ist \(\phi(n) = 0\) und umgekehrt oder gibt es dazu einwände?

Nennt man diese Eigenschaft bei Folgen auch "disjunkte Träger" ?

Vielen Dank
Gruß
cphysik



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 6866
Wohnort: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-17 14:26


@Sismet, schnitzel:

Helft mir mal bitte auf die Sprünge. Es sei a = 0 und b = 1, f(x) = 1, g(x) = x. Warum ist dann nicht
\[||f+g|| = \sup\{|1+x|:x\in[0,1]\} = |1+1| = 2\]
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sismet
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.03.2021
Mitteilungen: 83
Wohnort: Heidelberg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-17 14:37

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
@StrgAltEntf
Das hab ich in dem Post auch nicht verstanden. Ich hab mich in meiner Antwort auf den Text unter dem Beispiel, den hier:
2013-06-26 01:30 - pasch in Beitrag No. 1 schreibt:
Man muss aber eigentlich die Funktionen nicht direkt angeben: Wir wählen uns stetige Funktion f,g (keine Nullfunktion) mit disjunkten Trägern und können diese durch Division einer Konstanten auf norm(f)=1, norm(g)=1 normen.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)

bezogen. Deine Überlegung ist richtig, da steht was falsches in dem anderen Post.
Das Beispiel funktioniert aber dennoch, weil $5\neq 4$
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Sismet
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.03.2021
Mitteilungen: 83
Wohnort: Heidelberg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-17 14:45

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
2021-04-17 14:17 - cphysik in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich kann ja meine Folgen auch so wählen, dass wenn \(\varphi(n) \neq 0\) dann ist \(\phi(n) = 0\) und umgekehrt oder gibt es dazu einwände?

Nennt man diese Eigenschaft bei Folgen auch "disjunkte Träger" ?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
Du kannst $\phi,\varphi$ so wählen, das ist kein Problem.
Die Eigenschaft kannst du auch disjunkte Träger nennen, dafür brauchst du logischerweise eine Topologie auf $\IN$ aber da wähle einfach die diskrete Topologie und dann hast du genau das was du willst.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cphysik
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.10.2020
Mitteilungen: 23
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-17 14:50


Hallo Sismet,

super, vielen Dank!

cphysik



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
cphysik hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
cphysik hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]