Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Eigenwerte » Eigenwert und Eigenvektor Matrix
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Eigenwert und Eigenvektor Matrix
Spedex
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 999
Wohnort: Wien / Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Hallo, folgende Aufgabenstellung:

Es geht erstmal um die Matrix A. Hier habe ich es mit Wolfram Mathematica überprüft, um dann festzustellen, dass bei mir etwas nicht stimmen kann.
Laut Wolfram Mathematica gibt es folgende Eigenvektoren:
Mathematica
In[1]:= Eigenvalues[{{1, 0, 3}, {0, 1, 0}, {3, 0, 1}}]
 
Out[1]= {4, -2, 1}

Ich verstehe hierbei nicht, wie man auf die Eigenwert von 4 und -2 kommen soll.

Das charakteristische Polynom lautet hier:
\[(1-\lambda)\cdot (1-\lambda)\cdot (1-\lambda)=0\] Man sieht, diese Gleichung hat eine Lösung für \(\lambda = 1\) und nicht für \(4\) und \(-2\).
Die algebraische Vielfachheit ist 3.

Kann sich jemand von euch erklären, wie man auf die anderen beiden Werte kommen soll?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6855
Wohnort: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
Hallo Spedex,

dein charakteristisches Polynom ist schon falsch.

Entwickle doch einmal die Determinante

\[\begin{vmatrix}
1-\lambda & 0 & 3 \\
0 & 1-\lambda & 0 \\
3 & 0 & 1-\lambda
\end{vmatrix}\]
geeignet (etwa nach der zweiten Zeile oder Spalte...).


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Eigenwerte' von Diophant]
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spedex
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 999
Wohnort: Wien / Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Es ist etwas traurig, aber:
Wie finde ich denn alle Nullstellen systematisch von folgender Gleichung:
\[(1-\lambda)^3-9\cdot (1-\lambda)=0\]
Klar sehe ich sofort, dass die Gleichung bei \(\lambda=1\) stimmt, aber bei den anderen beiden (4 und -2) nicht...

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6855
Wohnort: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
Hallo Spedex,

klammere den Faktor \(1-\lambda\) einmal aus und wende den Satz vom Nullprodukt an.

(Beim Ausklammern zerfällt der Term ja in einen linearen und einen quadratischen Faktor.)

PS: das charakteristische Polynom stimmt jetzt.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spedex
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 999
Wohnort: Wien / Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Ah, sehr gut, so hat es geklappt.
Eine Frage zur algebraischen Vielfachheit von \((1-\lambda)^3-9\cdot (1-\lambda)=0\). Kann man da ohne weiteres die algebraische Vielfachheit ablesen?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6855
Wohnort: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
Hallo,

die algebraische Vielfachheit ist eine Eigenschaft, die den einzelnen Lösungen von Polynomen zukommt (unabhängig von der konkreten Anwendung "Eigenwerte"). Wie soll man die (bis auf Ausnahmen) ablesen können?

Das geht ab und an, wenn die Polynome so einfach sind, dass man die Lösungen ebenfalls ablesen kann.

Nehmen wir dein Polynom aus dem Themenstart: das besitzt offensichtlich die Dreifachlösung \(\lambda=1\). Aber wie gesagt: i.a. geht das nicht.

Sonst wäre das Auflösen von Polynomen nicht die anspruchsvolle Materie, als die wir das alle kennen, und vermutlich gäbe es das gesamte Fachgebiet 'Algebra' nicht, zumindest nicht in seiner heutigen Form...

Wenn bei einem Polynom dritter Ordnung jedoch drei verschiedene Lösungen herauskommen so wie hier, dann musst du dir über deren algebraische Vielfachheit nicht den Kopf zebrechen. Das ist dir hoffentlich klar?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spedex
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 999
Wohnort: Wien / Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Ok, das ergibt Sinn.
Bei der Matrix B komme ich auf einen Eigenwert mit einer algebraischen Vielfachheit von 2. Resultieren draus nun zwei Eigenvektoren oder einer?
Laut Wolfram Mathematica gibt es zwei Eigenvektoren:
\[t\cdot \bpm 0\\1 \epm,\quad t\cdot \bpm 0\\0 \epm\]
Mathematica
In[9]:= Eigenvectors[{{0, 0}, {1, 0}}]
 
Out[9]= {{0, 1}, {0, 0}}
Dabei ist doch ein Vektor de Nullvektor, das kann ja gar nicht sein, oder?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6855
Wohnort: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-19


Hallo Spedex,

du solltest dich bei dieser Materie nicht zu sehr auf dein CAS verlassen.

Der Nullvektor kann natürlich kein Eigenvektor sein, wie du richtig gesagt hast. Du hast also hier einen Eigenvektor erhalten, bei einer algebraischen Vielfachheit von 2 des einzigen Eigenwerts Null.

Welche geometrische Vielfachheit hat dieser Eigenwert damit dann?


Gruß, Diophant



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1303
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-19 16:29 - Spedex in Beitrag No. 4 schreibt:
Kann man da ohne weiteres die algebraische Vielfachheit ablesen?
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)

"Ohne Weiteres" nicht, aber es gilt Folgendes:

Sei $p \in \mathbb{R}[x]$ ein Polynom mit Nullstelle $\alpha$. Dann hat $\alpha$ Multiplizität $\geq 2$ genau dann, wenn $p'(\alpha) = 0$.

Du kannst also theoretisch wiederholt (im Kopf) ableiten.


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spedex
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 999
Wohnort: Wien / Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19


2021-04-19 18:25 - Diophant in Beitrag No. 7 schreibt:
Hallo Spedex,

du solltest dich bei dieser Materie nicht zu sehr auf dein CAS verlassen.

Der Nullvektor kann natürlich kein Eigenvektor sein, wie du richtig gesagt hast. Du hast also hier einen Eigenvektor erhalten, bei einer algebraischen Vielfachheit von 2 des einzigen Eigenwerts Null.

Welche geometrische Vielfachheit hat dieser Eigenwert damit dann?


Gruß, Diophant

Die geometrische Vielfachheit sollte 1 sein. Allerdings lese ich das an den Nullzeilen ab, nicht an der Anzahl von unterschiedlichen Eigenvektoren oder sowas, falls du darauf hinaus willst.
Beispielsweise die Matrix C hat zwei Eigenvektoren aber auch nur ein einzigen Eigenwert.

Liebe Grüße
Spedex

EDIT: Verschrieben



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6855
Wohnort: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

du musst unbedingt diese Begriffe ersteinmal recherchieren (und verstehen). Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts im Fall der Matrix B ist bspw. 1, nicht 0.

Und die Matrix C besitzt (einmal angenommen, der zugrundeligende Körper ist \(\IR\)) unendlich viele Eigenvektoren zum Eigenwert Null, nicht zwei. Aber die geometrische Vielfachheit ist 2, das ist richtig.

Warum?

Was sagt dir der Begriff des Eigenraums?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spedex
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 999
Wohnort: Wien / Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-04-19 18:41 - Diophant in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo Spedex,

du musst unbedingt diese Begriffe ersteinmal recherchieren (und verstehen). Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts im Fall der Matrix B ist bspw. 1, nicht 0.

Und die Matrix C besitzt (einmal angenommen, der zugrundeligende Körper ist \(\IR\)) unendlich viele Eigenvektoren zum Eigenwert Null, nicht zwei. Aber die geometrische Vielfachheit ist 2, das ist richtig.

Warum?

Was sagt dir der Begriff des Eigenraums?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)

Ok, bei der geometrischen Vielfachheit von der Matrix B habe ich mich verschrieben. Da habe ich gedanklich schon an die NULLzeile gedacht, daher kam das. Das mit den unendlich vielen Eigenvektoren ergibt natürlich Sinn, weil man den Vektor durch Multiplikation mit einer Matrix die nur aus Nullen besteht nicht in seiner Richtung verändern kann.

Eigenraum sagt mir etwas, aber nicht viel.

Bezüglich der Matrix E, wieder mal ein Nullstellenproblem:
Es ergibt sich folgende Gleichung für das charakteristische Polynom:
\[(4-\lambda)\cdot (2-\lambda)\cdot (3-\lambda) +3-\lambda =0\] Da ist offensichtlich 3 eine Nullstelle, aber tatsächlich ist es die einzige Nullstelle, woher weiß ich das?
Oder anders gefragt: Wie kann ich alle Nullstellen ermitteln (um dann draufzukommen, dass 3 die einzige Nullstelle ist)?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6855
Wohnort: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2021-04-19


Hallo,

bei der E solltest du eben das charakteristische Polynom zielführend faktorisieren (das schreit doch geradezu danach...).

Dann sieht man auch sofort, dass 3 der einzige Eigenwert ist und dass er die algebraische Vielfachheit 3 besitzt.

(Wenn du eh ein CAS benutzt: da muss es doch eine Möglichkeit geben, so ein Polynom zu faktorisieren?)

Welche geometrische Vielfachheit hat dieser Eigenwert?


Gruß, Diophant



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spedex
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 999
Wohnort: Wien / Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Hm, also das Faktorisieren kann ich natürlich mit dem CAS machen, aber würde es auch gern mal händisch probieren, da ja bei den Test auch kein CAS zugelassen ist, oder ähnliches.

Händisch bin ich jedoch echt schlecht im Faktorisieren...
Gibt es da einen Trick bezüglich dem Faktorisieren, was wäre eine geeignete Vorgehensweise?
Fairerweise könnte man hier sagen, dass man durch einmaliges Ausmultiplizieren sehen könnte, dass man \(-x^3+9x^2-27x+27\) faktorisieren kann als \(-1\cdot (3-x)^3\).

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6855
Wohnort: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

hier sieht man doch den gemeinsamen Faktor \((3-\lambda)\) bereits. Da braucht es also keinen Trick:

\[\ba
(4-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)+3-\lambda&=(3-\lambda)\left((4-\lambda)(2-\lambda)+1\right)\\
\\
&=(3-\lambda)(8-6\lambda+\lambda^2+1)\\
\\
&=(3-\lambda)(9-6\lambda+\lambda^2)\\
\\
&=(3-\lambda)(3-\lambda)^2\\
\\
&=(3-\lambda)^3
\ea\]
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-19 19:26 - Spedex in Beitrag No. 13 schreibt:
Fairerweise könnte man hier sagen, dass man durch einmaliges Ausmultiplizieren sehen könnte, dass man \(-x^3+9x^2-27x+27\) faktorisieren kann als \(-1\cdot (3-x)^3\).
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Ja, aber diese ganze Mühe ist unnötig, wenn man von vorn herein nicht gleich wild ausmultipliziert sondern alles erst einmal in Ruhe und gründlich betrachtet...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spedex
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 999
Wohnort: Wien / Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Ok, da "siehst" du etwas deutlich leichter als ich, wie auch immer.

Wenn ich in die Matrix für \(\lambda=3\) einsetze komme ich auf:
\[\bpm 1 && -1 && -1 \\ 1 && -1 && -1 \\ 0 && 0 && 0 \epm\] Sprich daraus kann man machen:
\[\bpm 1 && -1 && -1 \\ 0 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 0 \epm\]
Die geometrische Vielfachheit ist also meiner Meinung nach gleich 2.
Allerdings habe ich jetzt ein Problem beim Parametrisieren.
Ich sage \(z=t\), es gilt:
\[x-y-t=0\] Da kann ich jetzt aber nicht x und y beschreiben...

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6855
Wohnort: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-19 19:38 - Spedex in Beitrag No. 15 schreibt:
Ok, da "siehst" du etwas deutlich leichter als ich, wie auch immer.
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Das ist

a) Übungssache
b) eine Frage der Gründlichkeit bzw. Sorgfalt.

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)2021-04-19 19:38 - Spedex in Beitrag No. 15 schreibt:
Wenn ich in die Matrix für \(\lambda=3\) einsetze komme ich auf:
\[\bpm 1 && -1 && -1 \\ 1 && -1 && -1 \\ 0 && 0 && 0 \epm\] Sprich daraus kann man machen:
\[\bpm 1 && -1 && -1 \\ 0 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 0 \epm\]
Die geometrische Vielfachheit ist also meiner Meinung nach gleich 2.

Allerdings habe ich jetzt ein Problem beim Parametrisieren.
Ich sage \(z=t\), es gilt:
\[x-y-t=0\] Da kann ich jetzt aber nicht x und y beschreiben...
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Die geometrische Vielfachheit ist korrekt bestimmt.

Wenn du eine lineare Gleichung in 3 Unbekannten hast, musst du natürlich zwei Variablen durch Parameter ersetzen, also etwa \(y=s\) und \(z=t\).

(Dann wieder den Lösungsvektor in die Vielfachen der beiden Parameter aufsplitten und du hast zwei linear unabhängige Eigenvektoren dastehen.)


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1303
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2021-04-19


2021-04-19 19:26 - Spedex in Beitrag No. 13 schreibt:
Händisch bin ich jedoch echt schlecht im Faktorisieren...
Gibt es da einen Trick bezüglich dem Faktorisieren, was wäre eine geeignete Vorgehensweise?

Vielleicht hast du in der Schule die Polynomdivision gelernt. So macht man so etwas.


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6855
Wohnort: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2021-04-19


@Kezer:
2021-04-19 20:08 - Kezer in Beitrag No. 17 schreibt:
Vielleicht hast du in der Schule die Polynomdivision gelernt. So macht man so etwas.

Dazu braucht man aber auch eine Idee für den Faktor (sonst wird es arg mühsam). Am "scharf Hinsehen" führt also kein Weg vorbei. 😉


Gruß, Diophant



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1303
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2021-04-19


Ja, natürlich. :) Ich dachte Spedex kannte die Nullstelle bereits schon.

Andererseits lernt man auch das in der Schule. Anstatt bloß "scharf hinzusehen", benutzt man Stift und Papier und probiert eben kleine Werte aus und schaut, ob diese Nullstellen sind. (Wenn man auf rationale Nullstellen hofft, bekommt man mit elementaren zahlentheoretischen Methoden bereits alle endlich viele Kandidaten.)

(Wahrscheinlich könnte man das mit "scharf hinsehen" bezeichnen ;-) Allerdings weiß ich nicht, ob es Spedex dann ist, denn 3 in ein Polynom einsetzen schaffen wir ja wohl alle noch, oder?)


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spedex
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 999
Wohnort: Wien / Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Ich komme dann auf folgenden Eigenvektor:
\[\vec{x}=t\cdot \bpm 1 \\ 0 \\ 1 \epm + s\cdot \bpm 1 \\ 1 \\ 0 \epm\]
Kann das stimmen?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6855
Wohnort: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2021-04-19


Hallo Spedex,

das sind zwei Eigenvektoren, entsprechend der geometrischen Vielfachheit 2 (und sie sind beide richtig berechnet).

Was du oben notiert hast, das ist jetzt der komplette Eigenraum (zum einzigen  Eigenwert 3). Dieser wird aufgespannt von den Eigenvektoren (die nichts anderes als eine Basis des jeweiligen Eigenraums sind).


Gruß, Diophant



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spedex
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 999
Wohnort: Wien / Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19


Sehr gut, dann vielen Dank für die Hilfe!

Liebe Grüße
Spedex



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Spedex hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt.
Spedex wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]