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Mathematik » Stochastik und Statistik » Dodekaederwurf diskreter Wahrscheinlichkeitsraum
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Universität/Hochschule Dodekaederwurf diskreter Wahrscheinlichkeitsraum
NameWarVergeben
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-20 13:31


Hallo,
meine Aufgabe lautet wie folgt:

Ein Dodekaeder, dessen Seitenflächen mit den Zahlen von 1 bis 12

beschriftet sind, soll mehrfach geworfen werden. Dabei nehmen wir an, dass es sich um einen
fairen Dodekaeder handelt, d.h. alle Zahlen von 1 bis 12 werden nach einem Wurf mit der selben
Wahrscheinlichkeit gezeigt.

Geben Sie einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum an, welcher jeweils die folgenden Zufallsexperimente beschreibt:

– Zu einem gegebenen (aber festen) n ∈ N soll der Dodekaeder n-mal geworfen werden.
Der genaue Verlauf der Ergebnisse wird protokolliert.
– Der Dodekaeder soll 3-mal geworfen werden. Wir betrachten lediglich die Summe der
drei Wurfergebnisse.
– Der Dodekaeder wird 2-mal geworfen. Es wird lediglich beachtet, ob die Summe der
Wurfergebnisse gerade oder ungerade ist.



Ich komme bei dieser Aufgabe nicht ganz weiter bzw. bin mir bei der Berechnung nicht ganz sicher, obwohl dies ganz simpel erscheint.

Schwierigkeiten bereitet mir die Berechnung des Wahrscheinlichkeitsraumes P.

Für die Kardinalität der Ergebnismenge habe ich soweit:

(1) |Ω|= 12^n

(2) |Ω|= 364

(3) |Ω|= 364


Sind diese Ergebnisse soweit richtig?

Für den Wahrscheinlichkeitsraum gilt ja P= |A|/|Ω|

Aber was ist genau die Kardinalität der Ereignisse hier?

Ich hätte gedacht:

(1) |A|= 12

(2) |A|= 34

(3) |A|= 2

Ist das so richtig?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-20 13:40


Hallo,

wie kommst du denn bei (2) und (3) auf die Kardinalität der Wahrscheinlichkeitsräume?

Die zur (1) ist richtig.

2021-04-20 13:31 - NameWarVergeben im Themenstart schreibt:
Für den Wahrscheinlichkeitsraum gilt ja P= |A|/|Ω|

Aber was ist genau die Kardinalität der Ereignisse hier?

Dazu bräuchte man zunächst ein konkretes Ereignis und eine konkreten W-Raum. 🙂


Gruß, Diophant



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NameWarVergeben
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20 14:21


Hallo,

Für (2) und (3) dachte ich, dass man das Verfahren mit dem Ausdruck "Ziehen mit Zurücklegen, wobei man nicht die Reihenfolge nicht beachtet"
gleichsetzen kann.

Deshalb habe ich die Formel entsprechende Formel genutzt um die Kardinalität zu berechnen.


Noch zu dem Wahrscheinlichkeitsraum:

Bedeutet das, dass ich keinen konkreten Wahrscheinlichkeitsraum P angeben kann?

MfG
 



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-20 14:28


Bei (2) können doch nur die Ergebnisse 3, 4, ..., 36 auftreten. Also \(\Omega=\{3,4,...,36\}\), \(|\Omega|=34\).

Die Frage ist nun, was \(P(x)\) für ein \(x\in\Omega\) ist.




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NameWarVergeben
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-20 18:12


Hallo,

naja die Wahrscheinlichkeit ist ja für jede Augensummme ziemlich verschieden und ist nicht gleichverteilt.

Aber wie schreibe ich das am Besten auf?

Zu (3) haben wir dann:

|Ω|= 2 mit p(x)= 1/2 oder?




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-20 18:25


Hallo,

2021-04-20 18:12 - NameWarVergeben in Beitrag No. 4 schreibt:
naja die Wahrscheinlichkeit ist ja für jede Augensummme ziemlich verschieden und ist nicht gleichverteilt.

Aber wie schreibe ich das am Besten auf?

Nein, das stimmt nicht. Aber du könntest einmal für einige mögliche Summen überprüfen, wie viele Möglichkeiten es gibt, sie zu bilden. Am besten fängst du mal von unten und von oben an, dann wirst du eine Symmetrie entdecken. Vielleicht kann man die gesuchte Anzahl ja durch einen Term beschreiben...

2021-04-20 18:12 - NameWarVergeben in Beitrag No. 4 schreibt:
Zu (3) haben wir dann:

|Ω|= 2 mit p(x)= 1/2 oder?

Die Kardinalität passt hier, die Wahrscheinlichkeit nach meiner Rechnung aber nicht. Beachte hier, dass es nur zwei Würfe sind (bei drei Würfen würde P=1/2 stimmen).

EDIT: die Wahrscheinlichkeit passt auch, das war ein Denkfehler meinerseits. Sorry!


Gruß, Diophant



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NameWarVergeben
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-22 10:38


Hallo,

habe deinen Edit leider erst spät gesehen.
Aber habe etwas nachgedacht und es müsste doch eine höhere Wahrscheinlichkeit existieren eine gerade Augensumme zu würfeln als eine ungerade.
Wir haben ja 12 gerade Augensummen und 11 ungerade Augensummen.
Dabei haben wir beispielsweise für die 12, 13 und 14 jeweils 12 Möglichkeiten diese zuwürfen. Wir haben also für die geraden Augensummen 12 weitere Möglichkeiten zu Verfügung.

Wo liegt hier mein Denkfehler?

Zu (2) Leider fällt mir für den Dodekaeder kein wirklicher Term ein.
Wir haben zwar eine Symmetrie (Gaußsche Glockenkurve) aber trotzdem sehe ich da keine geeignete Formel.

MfG



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-22 11:01


Hallo,

2021-04-22 10:38 - NameWarVergeben in Beitrag No. 6 schreibt:
habe deinen Edit leider erst spät gesehen.
Aber habe etwas nachgedacht und es müsste doch eine höhere Wahrscheinlichkeit existieren eine gerade Augensumme zu würfeln als eine ungerade.
Wir haben ja 12 gerade Augensummen und 11 ungerade Augensummen.

Das reicht nicht aus als Argument. Da musst du ja mit berücksichtigen, auf wie viele Arten eine konkrete Summe jeweils gebildet werden kann. Sprich, das muss man schon nachrechnen.

Nachtrag: oder man argumentiert viel einfacher so, wie StrgAltEntf es im folgenden Beitrag tut.
 
2021-04-22 10:38 - NameWarVergeben in Beitrag No. 6 schreibt:
Zu (2) Leider fällt mir für den Dodekaeder kein wirklicher Term ein.
Wir haben zwar eine Symmetrie (Gaußsche Glockenkurve) aber trotzdem sehe ich da keine geeignete Formel.

Mir würde auch nicht einfach so spontan ein Term zum Dodekaeder einfallen. 😉

Ich habe also überlegt, auf wie viele Weisen ich die Summen 3,4,5 und 6 sowie die Summen 36,35,34 und 33 bilden lassen. Und als ich meine Resultate so angesehen habe, da fiel mir tatsächlich als nächstes der Name Carl Friedrich Gauß ein.

Aber es hat nichts mit der Glockenkurve zu tun, sondern eher mit einer gewissen Leistung des sehr jungen C.F. Gauss...


Gruß, Diophant



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-22 11:26


2021-04-22 10:38 - NameWarVergeben in Beitrag No. 6 schreibt:
Aber habe etwas nachgedacht und es müsste doch eine höhere Wahrscheinlichkeit existieren eine gerade Augensumme zu würfeln als eine ungerade.
Wir haben ja 12 gerade Augensummen und 11 ungerade Augensummen.

Letzteres spielt keine Rolle. Bei (3) ist die W'keit für gerade oder ungerade jeweils 1/2.

Wenn der erste Dodekaeder eine gerade Zahl anzeigt, macht der zweite Dodekaeder aus der geraden Zahl mit W'Keit 1/2 eine gerade bzw. eine ungerade Summe. Analog, wenn der erste Dodekaeder eine ungerade Zahl anzeigt.

Das Argument funktioniert auch, wenn du mit 17 statt zwei Dodekaedern würfelst. Die W'keit für eine gerade/ungerade Summe ist jeweils 1/2.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
DermitB
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-22 20:17


Moin,

wie mir auffällt scheinst du ja zufälligerweise die selbe Aufgabe zu bearbeiten wie ich. Warum versuchst du eigentlich das Wahrscheinlichkeitsmaß P zu berechnen, wenn lediglich nach dem diskreten W-Raum gefragt ist?

Der diskrete W-Raum ist ja nur ein Tupel ( fed-Code einblenden , p). Daher hätte ich nur die fed-Code einblenden aus fed-Code einblenden "genannt" und die zugehörigen Einzelwahrscheinlichkeiten p( fed-Code einblenden ) definiert.

LG



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-04-22 20:31


Hallo DermitB,

willkommen auf dem Matheplaneten!

Deinen Einwand verstehe ich nicht ganz. Wie du sagst, muss für jedes \(\omega\in\Omega\) die W'keit \(p(\omega)\) bestimmt werden.

Ob man das nun p oder P nennt, ist doch nebensächlich.

Der Satz "Für den Wahrscheinlichkeitsraum gilt ja P= |A|/|Ω|" aus dem Themenstart ist allerdings unverständlich bzw. falsch. Meintest du das?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-04-22 20:34

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo DermitB und willkommen hier im Forum!

2021-04-22 20:17 - DermitB in Beitrag No. 9 schreibt:
...Warum versuchst du eigentlich das Wahrscheinlichkeitsmaß P zu berechnen, wenn lediglich nach dem diskreten W-Raum gefragt ist?

Der diskrete W-Raum ist ja nur ein Tupel ( fed-Code einblenden
, p)... \(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Hier irrst du meiner Meinung nach. Ja, ein diskreter W-Raum kann als Tupel \((\Omega,P)\) angenommen werden (und als \(\sigma\)-Algebra stillschweigend die Potenzmenge von \(\Omega\) abgenommen werden). Aber das Wahrscheinlichkeitsmaß muss schon konkret angegeben werden.

Außerdem: so schwierig ist das bei Aufgabe 2) dann auch wieder nicht...


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
\(\endgroup\)


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