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 2 Dreiecke Größenverhältnis |
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Bekell
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 |  Themenstart: 2021-04-21
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_Gleichseitiges_Dreieck1.png
Bestimme das Flächenverhältnis des grünen zum blauen Dreieck.
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-21
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Hallo Bekell,
die Frage ergibt keinerlei Sinn, denn die beiden Dreiecke sind nicht ähnlich.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Geometrie' von Diophant]
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Bekell
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-21
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\quoteon(2021-04-21 14:44 - Diophant in Beitrag No. 1)
.... denn die beiden Dreiecke sind nicht ähnlich.
[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Geometrie' von Diophant]
\quoteoff
... und stehen trotzdem in einem per Hand angebbaren festen Größenverhältnis....
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-21
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\quoteon(2021-04-21 14:55 - Bekell in Beitrag No. 2)
... und stehen trotzdem in einem per Hand angebbaren festen Größenverhältnis....
\quoteoff
Dann musst du näher ausführen, welche Größen da genau in einem bestimmten Verhältnis stehen sollen. So wie bis hierhin ist die Frage wie gesagt sinnlos.
Gruß, Diophant
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Bekell
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-21
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\quoteon(2021-04-21 15:00 - Diophant in Beitrag No. 3)
\quoteon(2021-04-21 14:55 - Bekell in Beitrag No. 2)
... und stehen trotzdem in einem per Hand angebbaren festen Größenverhältnis....
\quoteoff
Dann musst du näher ausführen, welche Größen da genau in einem bestimmten Verhältnis stehen sollen. So wie bis hierhin ist die Frage wie gesagt sinnlos.
Gruß, Diophant
\quoteoff
Okay, hab verstanden. Ich änder Größenverhältnis in Flächenverhältnis. Es geht um das Verhältnis der beiden Dreiecksflächen! Danke Diophant!
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-21
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\quoteon(2021-04-21 15:02 - Bekell in Beitrag No. 4)
Okay, hab verstanden. Ich änder Größenverhältnis in Flächenverhältnis. Es geht um das Verhältnis der beiden Dreiecksflächen! Danke Diophant!
\quoteoff
Die Flächen stehen im Verhältnis 4:1. Was ist daran jetzt besonders?
Gruß, Diophant
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Bekell
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-21
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\quoteon(2021-04-21 15:04 - Diophant in Beitrag No. 5)
\quoteon(2021-04-21 15:02 - Bekell in Beitrag No. 4)
Okay, hab verstanden. Ich änder Größenverhältnis in Flächenverhältnis. Es geht um das Verhältnis der beiden Dreiecksflächen! Danke Diophant!
\quoteoff
Die Flächen stehen im Verhältnis 4:1. Was ist daran jetzt besonders?
Gruß, Diophant
\quoteoff
Der Weg .... besonders ist es nicht, aber auf den 1. Blick nicht zu sehen. Dann ist GAI auch GIB!
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Diophant
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|  Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-21
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\quoteon(2021-04-21 15:06 - Bekell in Beitrag No. 6)
Der Weg .... besonders ist es nicht, aber auf den 1. Blick nicht zu sehen.
\quoteoff
Doch. Mit dem Cavalieri-Prinzip folgt es sofort: man unterteilt das blaue Dreieck entlang seiner Höhe, die gleichzeitig Kreisradius ist, in zwei kongruente Hälften. Diese haben die gleiche Höhe wie das grüne Dreieck und als Grundseite den Radius.
Das grüne Dreieck hat den halben Kreisradius als Grundseite, also passt es viermal in das blaue Dreieck.
\quoteon(2021-04-21 15:06 - Bekell in Beitrag No. 6)
Dann ist GAI auch GIB!
\quoteoff
Wenn du auch hier wieder die Flächen meinst: das folgt ebenso unmittelbar auf die gleiche Art und Weise.
Ich habe fertig.
Gruß, Diophant
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Bekell
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-21
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\quoteon(2021-04-21 15:09 - Diophant in Beitrag No. 7)
Doch. Mit dem Cavalieri-Prinzip folgt es sofort: man unterteilt das blaue Dreieck entlang seiner Höhe, die gleichzeitig Kreisradius ist, in zwei kongruente Hälften. Diese haben die gleiche Höhe wie das grüne Dreieck und als Grundseite den Radius.
Das grüne Dreieck hat den halben Kreisradius als Grundseite, also passt es viermal in das blaue Dreieck.
\quoteoff
Ohne das Cavalieri-Prinzip zu kennen, - habe es eben das 1. Mal gehört, das Wort, hab ich partiell anders gedacht.
Ich sagte: In dem großen Dreieck FDE verhalten sich die Flächen des Dreiecks FGH zur Fläche des Vierecks GHDE wie 4:5. Daraus folgt, würde man von G ein Lot auf ED ziehen, hätte man ein Viereck GAI?, welches flächengleich zu Dreieck GFA ist. Die grüne Fläche wäre dann die Hälfte von dieser Fläche.
Dann verhält sich das grüne Dreieck GAI zum kleinen Kreis AJ, wie das große Dreieck FED zum großen Kreis AB.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_Gleichseitiges_Dreieck2.png
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Diophant
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-21
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Bekell,
deine Argumentation ist falsch. Das Verhältnis der Flächen von Trapez und blauem Dreieck von 5:4 ist noch richtig, aber die Strecken GF und GI bilden keinen rechten Winkel.
Ich kann auch überhaupt nicht nachvollziehen, an welcher Stelle du hier zu dem Teilverhältnis \(F_\text{blau}/F_\text{gruen}=4:1\) kommst.
Das mit dem Cavalieri-Prinzip war etwas hochtrabend formuliert für die ganz banale Formel für die Dreiecksfläche \(A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h\).
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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Bekell
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-21
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\quoteon(2021-04-21 18:32 - Diophant in Beitrag No. 9)
, aber die Strecken GF und GI bilden keinen rechten Winkel.
\quoteoff
.. würde ich auch nicht behaupten und hab es nicht. Es handelt sich bei dem gefärbten D. ja um ein rechtwinkliges Dreieck, welches flächengleich zu dem allvorhandenen gleichseitigen Dreieck ist.
\quoteon
Ich kann auch überhaupt nicht nachvollziehen, an welcher Stelle du hier zu dem Teilverhältnis \(F_\text{blau}/F_\text{gruen}=4:1\) kommst.
\quoteoff
Fälle von G ein Lot auf die Strecke EN. Das Viereck GAI(Lotpunkt) enthält genau 2 halbe und ein ganzes gleichseitiges Dreieck, wie FLM.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_Gleichseitiges_Dreieck3.png
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Diophant
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-04-21
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@Bekell:
Gelbrot und grün macht das Gelbe, grün und violblau das Blaue!
So wird aus Gurkensalat wirklich der Essig erzeugt!
(Friedrich Schiller)
Oder: warum einfach, wenns auch umständlich geht...
(Aber wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, dann ist die Argumentation mathematisch richtig. Nur wie so oft, sagen wir mal: kryptisch formuliert...)
Gruß, Diophant
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Bekell
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-21
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\quoteon(2021-04-21 19:25 - Diophant in Beitrag No. 11)
Oder: warum einfach, wenns auch umständlich geht...
Gruß, Diophant
\quoteoff
Das versteh ich nicht, Diophant. Für mich ist mein Weg einfach! (schätze: 6. Klasse) Erklär mal bitte, warum Dein Weg einfacher sein soll.... wahrscheinlich ist einfach relativ, und zwar von dem, was man als Vorwissen im Kopf hat.
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Caban
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 | Beitrag No.13, eingetragen 2021-04-21
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Hallo
Bei Diophants Weg muss man nur in die Formel einsetzen, deinen Weg zu verstehen, ist schon eine kleine intelektuelle Herausforderung, etwas übetrieben. dein Weg ist vergleichbar mit einer Reise nach Madrid, die per Flugzeug unternommmen wird. Der Pilot fliegt das Flugzeug aber nicht. Nein, er spannt ein klappriges Damenrad davor und strampelt.
Gruß Caban
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Bekell
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-21
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\quoteon(2021-04-21 21:51 - Caban in Beitrag No. 13)
Deinen Weg zu verstehen, ist schon eine kleine intellektuelle Herausforderung, etwas übertrieben.
\quoteoff
... darum hatte ich ja gepostet, wegen dieser kleinen Nuß. Es lassen sich übrigens noch mehr zum gleichseitigen Normdreieck inkongruente flächengleiche oder in kopfausrechenbaren Flächenverhältnissen stehende Dreiecke im Korpus finden.
Übrigens, kann mir jemand sagen, warum dies Netz aus gleichseitigen Dreiecken, wozu man auch Tetraktys sagt, zwar 10 Punkte hat, aber nur 9 Flächen. Wenn wir die gleichseitigen Dreiecke beobachten, so gibt es davon Mengen, die man zu Körpern zusammenlegen kann, z. B. 8 davon, und wiederrum Mengen, die man nicht zu Körpern zusammenlegen kann, weil eine Fläche übrigbleibt, z. B. 9. Sicherlich hat dazu schon jemand was Intelligentes aufgeschrieben.
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