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Differentiation » Taylorentwicklungen » Taylorpolynom
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Universität/Hochschule J Taylorpolynom
cphysik
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-22 11:22


Hallo,

Ich habe folgende Funktion gegeben

$f: B_1(0) \rightarrow \mathbb{C}^3$ mit $z \rightarrow \frac{1}{1-z}, \overline{z}^3, \frac{\overline{z}-z}{4}$ .

wobei $B_1(0) = \{z \in \mathbb{C}: |z|<1 \}$.

Also ich soll das gesamte Taylorpolynom, das Taylorpolynom dritten Grades plus das Restglied.

Also in der Vorlesung haben wir folgende Formel für das Taylorpolynom gelernt.

$T_p(f,m,x) = f(m) + \sum_{k=1}^{p} \frac{1}{k!}(x-m)^k f^{(k)}(m)$. Wenn ich das nun auf meine Funktion anwende, erhalte ich

$T_3(f,m,z)$ = $\begin{pmatrix}\frac{1}{1-m}\\\overline{z}^3\\ \frac{\overline{z}-z}{4}\end{pmatrix} + (z-m) \begin{pmatrix}\frac{1}{(1-m)^2}\\ 3 \overline{m}^2\\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2}(z-m)^2 \begin{pmatrix}\frac{2}{(1-m)^3}\\6 \overline{m}\\0 \end{pmatrix}+\frac{1}{6} (z-m)^3 \begin{pmatrix}\frac{6}{(1-m)^4} \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} $.

Stimmt das, was ich da fabriziert habe überhaupt?

Vielen dank im Voraus!
LG
cphysik



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Sismet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-22 23:44

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
Hey,
Ich sehe hier folgendes Problem:
$f(z)=\frac{\overline{z}-z}{4}=\frac{-\operatorname{Im}(z)}{2}$ ist nirgends komplex diff'bar. Da kann irgendwas nicht stimmen. Auch bei dem einsetzten in das Taylor-Polynom wäre ich mit einem allgemeinem $m$ vorsichtig, denn deine 2. Komponente ist nur in $0$ komplex diff'bar und dann auch nur einmal.
Wenn es nicht um komplexe sondern reelle Diff'barkeit geht musst du das ganze etwas anders aufschreiben und es wird dann etwas hässlich. Dann hast du das Problem mit der Diff'barkeit aber nicht mehr.

Aber generell, wenn du eine Funktion hast von $\IC$ nach $\IC^n$ kannst du die Taylorentwicklung so schreiben wie sie da steht.


Grüße
Sismet
\(\endgroup\)


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