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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Adjunktionen in der Funktionalanalysis
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Universität/Hochschule Adjunktionen in der Funktionalanalysis
cofeworit
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  Themenstart: 2021-04-24

Eine coole Sache, die ich aus diesem Buch gelernt habe, ist, dass sich die aus der Funktionalanalysis bekannte Konstruktion $\ell^1$, die zu jeder Menge $T$ den Raum $\ell^1(T)$ der Funktionen $f\colon T\to \mathbb C$ mit $\sum_{t\in T} |f(t)|<\infty$, ausgestattet mit der Norm gegeben durch $\lVert f \rVert := \sum_{t\in T} |f(t)|$, liefert, charakterisieren lässt als linksadjungierter Funktor zum Einheitskugelfunktor $\mathbf{Ban}\to\mathbf{Set}$, der jedem Banachraum $X$ seine Einheitskugel $\{x\in X\mid \lVert x\rVert \leq 1\}$ zuordnet. Hier ist $\mathbf{Ban}$ die Kategorie der Banachräume und stetigen linearen Abbildungen mit Operatornorm $\leq 1$. Frage: Welche anderen Konstruktionen aus der Funktionalanalysis lassen sich als zu einfachen Funktoren adjungierte Funktoren charakterisieren? Wie wär's mit $\ell^p$ ($1Adjointness in foundations erwähnt Lawvere auch nur $\ell^1$ und "almost-periodic functions". Weiß jemand, welche Adjunktion er zu "almost-periodic functions" meinen könnte?


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-26

Dass $\ell^1 : \mathbf{Set} \to \mathbf{Ban}_1$ linksadjungiert zur Einheitskugel $B_1 \cong \mathrm{Hom}(\IK,-) : \mathbf{Ban}_1 \to \mathbf{Set}$ ist, lässt sich durch die Konstruktion von Koprodukten in $\mathbf{Ban}_1$ verallgemeinern (Satz 6.5.11 im Buch Einführung in die Kategorientheorie), denn $\ell^1(S) = \coprod_{s \in S} \IK$ in $\mathbf{Ban}_1$. Die Konstruktion von Produkten (Satz 6.4.15) verallgemeinert dann die Konstruktion $\ell^{\infty}(S) = \prod_{s \in S} \IK$ in $\mathbf{Ban}_1$, und entsprechend ist $\ell^{\infty} : \mathbf{Set}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Ban}_1$ rechtsadjungiert zu $\mathrm{Hom}(-,\IK)$. Eine allgemeine kategorielle Charakterisierung der $L^p$-Räume auf nicht-diskreten Maßräumen oder für $1 < p < \infty$ ist mir nicht bekannt. Erwähnenswert ist allerdings, dass man den Banachraum $L^1[0,1]$ charakterisieren bzw. sogar konstruieren kann als initiale Algebra für den Endofunktor $X \mapsto X \times X$ auf $\IK / \mathbf{Ban}_1$, wobei $X \times X$ mit der Norm $|(x,y)| = \frac{1}{2} (|x|+|y|)$ versehen wird, siehe hier oder auch hier (Beispiel F). Auch das Integral $\int : L^1[0,1] \to \IK$ ergibt sich dann aus der universellen Eigenschaft. Vielleicht kann man $L^1(X)$ auch für andere topologische Räume $X$ so beschreiben, sofern man $X$ als terminale Koalgebra schreiben kann; Leinsters General Theory of Self-Similarity könnte hierbei hilfreich sein. Wenn dich das Thema interessiert, ist das Paper The Hitchhiker Guide to Categorical Banach Space Theory. Part I eine gute Anlaufstelle; insbesondere Abschnitte 4 und 5 sind für deine Frage relevant. Vielleicht interessiert dich auch der Thread Is there an introduction to probability theory from a structuralist/categorical perspective? auf mathoverflow, insbesondere die Antwort von Dmitri Pavlov, der auch an anderen Stellen dazu geschrieben hat. Eine Variante des von dir genannten Funktors $M$ ist übrigens als Giry-Monade bekannt (siehe Referenzen dort).


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cofeworit
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-26

Vielen Dank für die hervorragende Antwort! 😃


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-26

Wie man den Banachraum $L^1(M)$ für beliebige endliche Maßräume $M$ kategoriell kennzeichnen kann, hat Tom Leinster hier erklärt. Genauer gesagt betrachtet man die Kategorie der Paare $(F,u)$, wobei $F : \mathbf{Meas}_{\mathbf{emb}} \to \mathbf{Ban}_1$ ein Funktor auf der Kategorie der Maßräume zusammen mit maßerhaltenden Einbettungen ist und $u$ eine Familie von Elementen $u_M \in F(M)$ für Maßräume $M$ ist, sodass $|u_M| \leq \mu_M(M)$ und $u_{M \sqcup N} = F(M \hookrightarrow M \sqcup N)(u_M) + F(N \hookrightarrow M \sqcup N)(u_N)$ für Maßräume $M,N$. Dann ist $(L^1,1)$ ein initiales Objekt in dieser Kategorie.


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Triceratops
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-26

Das Paper habe ich jetzt erst gefunden, aber es ist auch erst von November 2020: Tom Leinster hat in The categorical origins of Lebesgue integration eine kategorielle Charakterisierung und auch Konstruktion der $L^p$-Räume gefunden (wieder als initiale Objekte in gewissen Kategorien) für $1 \leq p < \infty$. Er hat auch hier im n-café dazu geschrieben. Deine Frage war ja eigentlich, ob man $L^p$ auch als links- oder rechtsadjungierten Funktor begreifen kann. Das wird dadurch noch nicht beantwortet (und entsprechend hatte mich der Haken hier irritiert). Aber vielleicht kann man Tom Leinster einfach einmal eine E-Mail schreiben; er hat mir jedenfalls immer nett geantwortet.


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cofeworit
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-28

Danke! Er hat mir geschrieben, dass er es auch nicht weiß.


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cofeworit hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
cofeworit hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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