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Mathematik » Stochastik und Statistik » Zufallsvariablen und gemeinsame Dichte
Thema eröffnet 2021-04-25 12:11 von carlox
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Universität/Hochschule Zufallsvariablen und gemeinsame Dichte
carlox
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  Beitrag No.40, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

\quoteon(2021-04-28 10:23 - zippy in Beitrag No. 5) Solange du keine Annahmen über die Art der Abhängigkeit der $X_i$ machen willst, kannst du das Bildmaß $P\circ X^{-1}$ nicht konkret angeben. Du musst also entweder sagen, dass die $X_i$ unabhängig sind, oder du musst sagen, wie ihre Abhängigkeit aussieht, indem du z.B. die gewünschte Dichte von $P\circ X^{-1}$ hinschreibst. \quoteoff Ich meinte das folgende Zitat aus deinem Beitrag 5: \quoteon Die Verteilungen der $X_i$ sind festgelegt durch (1) das Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ auf $\Omega$ und (2) durch die Abbildungen $X_i\colon\Omega\to\mathbb R$. Man kann sich daher in einem gewissen Umfang aussuchen, an welchen dieser beiden Stellschrauben man dreht: Du kannst beispielsweise für $P$ das Lebesgue-Maß auf $[0,1]^2$ nehmen und dann $X_2$ so wählen, dass sich die gewünschte Verteilung ergibt, oder du kannst gleich auf $[0,1]^2$ ein Produktmaß $P=\lambda\otimes\mu$ aus dem Lebesgue-Maß $\lambda$ und einem Maß $\mu$ mit ${\mathrm d\mu\over\mathrm d\lambda}=f_2$ und dann für $X_2$ die Projektion auf die zweite Koordinate nehmen. \quoteoff Frage: Bedeutet das, dass man für ein P ein (so wie es AnnaKath im Beitrag 1 macht) beliebiges WK-Maß wählen kann (also nicht nur das Lebesgue-Maß auf $[0,1]^2$) und dass dann auch ein $X_1$ existiert, so dass sich die gewünschte Verteilung ergibt? Wie hast du das so "schnell" gesehen (ohne weitere Zwischenschritte zu formulieren)? Frage: Oder gilt das (vermutlich aber nicht nur) für den Speziallfall: Wähle für $P$ das Lebesgue-Maß auf $[0,1]^2$. Dann kann man nämlich $X_1$ wie folgt wählen: Sei $F_1$ die eine vorgegebene Randverteilung: $\Omega := [0,1]^2$ Sei $X_1 : [0,1]^2 \rightarrow \mathbb{R}$ Wähle die Vorschrift: $X_1(x,y) := F_1^{-1}(x)$ Dann gilt (wie in meinem Beitrag 36 gezeigt): $F_1(a)=P(X_1^{-1}(-\infty,a]))$ Wie hast du das so "schnell" gesehen (ohne weitere Zwischenschritte zu formulieren)? mfg cx ============================================================ Zusatz: Habe nachträglich heruasgefunden, wie man mehrere P wählen kann: Behauptung: Seien $F_1$ und $F_2$ stetige und streng monotone Verteilungsfunktionen: (Def. Verteilungsfunktion, siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsma%C3%9F ) $F_1: \mathbb{R} \rightarrow [0,1]$ $F_2: \mathbb{R} \rightarrow [0,1]$ Dann gibt es WK-Räume (mit "vielen" P) $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ und 2 ZVen $X_1$ und $X_2$ mit: $F_1 = P \circ X_1^{-1}$ und $F_2 = P \circ X_2^{-1}$ und $F_1$ und $F_2$ sind die Randverteilungsfunktionen von F ($F(a,b) := P(X_1 \le a \cap X_2 \le b)$) d.h: $F_1(a) = F(a, \infty)$ und $F_2(b) = F(\infty, b)$ Beweis: $\Omega := \mathbb{R}$ $\mathcal{A} = \mathcal{B}(\mathbb{R})$ = Borel-Mengen $P$ sei ein beliebiges WK-Maß auf $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ mit zugehöriger streng monoton wachsender und stetiger Verteilungsfunktion $F$: $F(x) := P((-\infty,a])$ Dann wähle die ZVen $X_1, X_2$ wie folgt: $X_1: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $X_1:= F_1^{-1} \circ F$ $X_2: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $X_2:= F_2^{-1} \circ F$ Daraus folgt: $X_1^{-1}:= F^{-1} \circ F_1$ $X_2^{-1}:= F^{-1} \circ F_2$ 1) Zeige $ X_1$ ist ZVe: $X_1^{-1}((-\infty,a]) = F^{-1}(F_1((-\infty,a]))= (-\infty, F^{-1}(F_1(a))] \in \mathcal{B}(\mathbb{R} $ 2) Zeige: $F_1(a) = P(X_1((-\infty,a])$ Es gilt: $P(X_1^{-1}((-\infty,a]))= P(F^{-1}(F_1((-\infty,a])))= P((-\infty, F^{-1}(F_1(a))]) = F(F^{-1}(F_1(a))) = F_1(a)$ Analoges für $X_2$ mfg cx


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  Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-23

\quoteon(2022-01-22 22:10 - zippy in


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