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| Autor |
  Verbreiterung der Fermi Verteilung |
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Lambda88
Aktiv 
Dabei seit: 08.05.2014
Mitteilungen: 296
 |  Themenstart: 2021-04-27
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Hallo Zusammen,
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39767_Fermit.jpg
Ich muss die Verbreiterung der Fermi Verteilung berechnen, welche den Wert 4k_b*T hat. Als Hinweis haben wir bekommen, dass es sich um die Nullstelle der Wendetagente handeln soll.
Die Koordinaten der Wendestelle wären ja an den Ort, wo die Energie dem des chemischen Potentials entspricht also E_f, und bei dieser Energie wäre die Besetzungswahrscheinlichkeit ja 1/2 also wäre die Koordinate der Wendestelle damit (E_f , 1/2)
Danach habe ich die Steigung der Tangente ausgerechnet, in dem ich die Fermi Verteilung einmal abgeleitet habe und dort das chemische Potential eingesetzt ergibt eine Steigung von 1/(4*k_b*T)
Die Gleichung der Tangente lautet ja t(x)=m*x+b also fehlt mir noch b der Y-Achsenabschnitt, die obige Steigung eingesetzt, sowie die Koordinaten der Wendestelle also (E_f , 1/2) und das alles nach b aufgelöst ergibt dann (2*k_b*T)/E_f
Damit lautet die Wende Tangente also t(E)=1/(4*k_b*T)*E+(2*k_b*T)/E_f
Wenn ich von der Wendetangente nun die Nullstelle berechen erhalte ich -(8*k_b^2*T^2)/E_f
Irgendwo muss ich einen Fehler gemacht haben, leider weiß ich nicht wo.
Schon mal vielen Dank für die Hilfe
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MontyPythagoras
Senior 
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3417
Wohnort: Werne
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-28
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Hallo Lambda88,
hast Du Dir die Verteilungsfunktion mal angeschaut? Bei der Steigung hast Du das Minus vergessen, die Steigung ist negativ. Überprüfe Deine Rechnung dahingehend noch einmal. Außerdem liegt der Wendepunkt bei $E=\mu$, so dass die Gleichung der Wendetangente einfach lautet:
$$f_t(E)=\frac12-\frac{E-\mu}{4k_BT}$$Denn $E=\mu$ muss $f=\frac12$ ergeben. Die "Verbreiterung" ist nicht die Nullstelle der Wendetangente!
Da die Funktion asymptotisch gegen $f(-\infty)=1$ und $f(\infty)=0$ geht, ist die Verbreiterung diese vertikale Spanne (also $1$), geteilt durch den Betrag der Steigung, d.h.
$$\frac1{\frac1{4k_BT}}=4k_BT$$Anschaulich kann man sich das wie folgt klar machen:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/39826_Fermi.pngMit der Verbreiterung ist der horizontale Abstand der Punkte A und B gemeint. Formal könnte man diesen Abstand ausrechnen, indem man die Tangente mit $f=0$ (Nullstelle) und $f=1$ schneidet. So ist der Tipp mit der Nullstelle vermutlich gemeint, aber da der vertikale Abstand gleich $1$ ist, ergibt sich das oben von mir angegebene. Siehe auch hier. Bei Raumtemperatur kann man übrigens noch $\mu\approx E_F$ annehmen.
Ciao,
Thomas
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Lambda88
Aktiv
Dabei seit: 08.05.2014
Mitteilungen: 296
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-29
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Vielen Dank Thomas für deine Hilfe, anhand der Grafik habe ich jetzt endlich verstanden, was gesucht war und wie man die Verbreiterung berechnen kann 😃
Nochmals vielen Dank und bleib gesund.
Gruß Stefan
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Lambda88 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Lambda88 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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