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Universität/Hochschule J Fourierreihen Abschätzung k-te Ableitung Fourier-Koeffizienten
eatingpielater
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-27


Hallo! Ich muss folgende Aufgabe bis zum 18. Mai gelöst haben für ein Proseminar zu Fourierreihen. (Ich halte einen Vortrag über die punktweise Konvergenz)
\[\text{f ist stetig differenzierbar und f'' sei stückweise stetig. Dann gilt für die Fourier-Koeffizienten }  c_n \text{von f eine Abschätzung }
|c_n| ≤ \frac{c}{n^2} \text{mit festem c. Weiter verallgemeinere man dieses Resultat auf Funktionen, deren k-te Ableitung stückweise stetig ist. Hinweis: Wende zweimal (bzw. k-mal) Produktintegration an.}\] (Aufgabe Ende)

Ich bin mir etwas unsicher, wie ich die Aufgabe angehen soll, mit partieller Integration von \[c_n\] habe ich angefangen aber bin nicht wirklich zu einem aussagenden Ergebnis bekommen.
Muss man das über Induktion machen und mit \[c_1\] anfangen, etc.?
Würde mich über ein paar Anstöße sehr freuen! :)



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Sismet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
Hey,
wenn $c_k$ die Fourier-Koeffizienten von $f$ sind und $d^n_k$ die Fourier-Koeffizienten von $f^{(n)}$ und $f^{(n)}$ stückweise stetig. Dann zeigst du durch Partielle Integration von $c_k$, dass $|c_k|=\frac{1}{k}|d^1_k|$ gilt. Das wendest du jetzt 2 mal bzw. n mal an und musst dann noch $|d^n_k|$ abschätzen. Dass geht zum Beispiel mit der Cauchy-Schwarz Ungleichung.

Grüße
Sismet
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eatingpielater
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-27


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\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)2021-04-27 18:36 - Sismet in Beitrag No. 1 schreibt:
Hey,
wenn $c_k$ die Fourier-Koeffizienten von $f$ sind und $d^n_k$ die Fourier-Koeffizienten von $f^{(n)}$ und $f^{(n)}$ stückweise stetig. Dann zeigst du durch Partielle Integration von $c_k$, dass $|c_k|=\frac{1}{k}|d^1_k|$ gilt. Das wendest du jetzt 2 mal bzw. n mal an und musst dann noch $|d^n_k|$ abschätzen. Dass geht zum Beispiel mit der Cauchy-Schwarz Ungleichung.

Grüße
Sismet
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Hi, vielen Dank! Ich werde es mit dem Ansatz mal angehen. Und das n bei \[d^n_k\] kommt von der n-ten Ableitung?
Ich bin mir auch unsicher, was das "bzw." aussagen soll, muss ich die partielle Integration 2-mal anwenden, und somit ist es für n-mal gezeigt? Oder stelle ich dann eine Hypothese für die n-te Ableitung an?
Danke auf jeden Fall für den Ansatz und die schnelle Rückmeldung! :))
LG




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Sismet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
Ja das $n$ steht für die Ableitung.
Zu dem "bzw.": wenn du die Aussage für eine 2 mal stückweise stetig diff'bare Funktion zeigen willst, dann machst du $|c_k|=\frac{1}{k}|d^1_k|=\frac{1}{k^2}|d^2_k|$ (mit $|d^1_k|=\frac{1}{k}|d^2_k|$).
Wenn du die Aussage für eine $n$ mal stückweise stetig diff'bare Funktion zeigen willst, dann machst du $|c_k|=\frac{1}{k}|d^1_k|=\cdots =\frac{1}{k^n}|d^n_k|$
Die Aussage $|c_k|=\frac{1}{k}|d^1_k|$ zeigst du am Anfang einmal für eine beliebige einmal stückweise stetige Funktion.
\(\endgroup\)


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eatingpielater
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-28


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)2021-04-27 19:09 - Sismet in Beitrag No. 3 schreibt:
Ja das $n$ steht für die Ableitung.
Zu dem "bzw.": wenn du die Aussage für eine 2 mal stückweise stetig diff'bare Funktion zeigen willst, dann machst du $|c_k|=\frac{1}{k}|d^1_k|=\frac{1}{k^2}|d^2_k|$ (mit $|d^1_k|=\frac{1}{k}|d^2_k|$).
Wenn du die Aussage für eine $n$ mal stückweise stetig diff'bare Funktion zeigen willst, dann machst du $|c_k|=\frac{1}{k}|d^1_k|=\cdots =\frac{1}{k^n}|d^n_k|$
Die Aussage $|c_k|=\frac{1}{k}|d^1_k|$ zeigst du am Anfang einmal für eine beliebige einmal stückweise stetige Funktion.
\(\endgroup\)

Ok, vielen Dank. Ich muss leider sagen, dass ich sehr verwirrt bin. Aber vielleicht liegt das auch an den Kopfschmerzen, mit denen ich heute aufgewacht bin. ^^'
Erste Frage:Könntest du noch einmal kurz erläutern, warum wir $\frac{1}{k}|d^1_k|$ zeigen? Wie leitet sich das von $\frac{c}{n^2}$ her?
Zweite Frage: Ist $|d^1_k|$ einmal abgeleitet? Und wie schreibt sich das? Ist $d_k$ einfach der Fourier-Koeffizient $c_k$ aber für die Ableitung, deswegen ein anderer Buchstabe dafür?

Hier ist mein jetziger Berechnungsstand: (ich weiß, nicht sehr fortgeschritten aber ich versuche es langsam anzugehen xD):

\[c_k = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} f(x)e^{-ikx}dx\]
Ich habe den Faktor vor dem Integral hier erstmal weggelassen:

\[\int\limits_{0}^{2\pi} f(x)e^{-ikx}dx = f(x)(\frac{-1}{ik})e^{-ikx} + \frac{1}{ik}\int\limits_{0}^{2\pi} f'(x)e^{-ikx}dx \]
So, das war nun einmal partiell integriert. Jetzt stehe ich etwas auf dem Schlauch mit den Zusammenhängen...

Ich hoffe, es ist bis hierhin alles nachvollziehbar und danke vielmals für die Hilfe!
LG



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Sismet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
Hey,
meine Idee für den Beweis war die:
Lemma 1: Ist $f$ eine stückweise stetig diff'bare Funktion dann gilt:
$|c_k|=|<f,e_k>|=\frac{1}{k}|<f',e_k>|=\frac{1}{k}|d^1_k|$
Satz: Ist $f$ $n$ mal stückweise stetig diff'bar dann gilt:
$|c_k|=|<f,e_k>|=\frac{1}{k^n}|<f^{(n)},e_k>|=\frac{1}{k^n}|d^n_k|$
Beweis: $$|c_k|=|<f,e_k>|\underset{\text{Lemma 1}}{=}\frac{1}{k}|<f',e_k>|=\frac{1}{k}|d^1_k|=\frac{1}{k}|<f',e_k>|\\
\underset{\text{Lemma 1}}{=}\frac{1}{k^2}|<f'',e_k>|=\frac{1}{k^2}|d^2_k|=\cdots=\frac{1}{k^n}|<f^{(n)},e_k>|=\frac{1}{k^n}|d^n_k|$$
2021-04-28 09:21 - eatingpielater in Beitrag No. 4 schreibt:
\[\int\limits_{0}^{2\pi} f(x)e^{-ikx}dx = f(x)(\frac{-1}{ik})e^{-ikx} + \frac{1}{ik}\int\limits_{0}^{2\pi} f'(x)e^{-ikx}dx \]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
Hier fehlen die Integrationsgrenzen im 1. Summanden, dann musst du es nur noch in den Betrag setzen und du hast den 1. Teil gelöst.

Grüße
Sismet
\(\endgroup\)


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eatingpielater
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-02


Ok, ich glaube mein Verstand hat endlich wieder eingesetzt und ich bin etwas weitergekommen. Nochmal vielen Dank, Sismet, für deine Vorschläge.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)2021-04-28 11:20 - Sismet in Beitrag No. 5 schreibt:
Hey,
meine Idee für den Beweis war die:
Lemma 1: Ist $f$ eine stückweise stetig diff'bare Funktion dann gilt:
$|c_k|=|<f,e_k>|=\frac{1}{k}|<f',e_k>|=\frac{1}{k}|d^1_k|$
Satz: Ist $f$ $n$ mal stückweise stetig diff'bar dann gilt:
$|c_k|=|<f,e_k>|=\frac{1}{k^n}|<f^{(n)},e_k>|=\frac{1}{k^n}|d^n_k|$
\(\endgroup\)

Darauf habe ich auch weiterhin aufgebaut und mein Ergebnis hergeleitet. :)

Hier meine Ergebnisse:

Wenn man $|c_k|$ zweimal partiell integriert, erhält man:

fed-Code einblenden

Wir wissen, dass für eine zweimal stückweise stetig differenzierbare Funktion die Abschätzung fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
gilt.

Da die ausintegrierten Bestandteile bei der partiellen Integration alle Null werden (da f eine $2\pi$ periodische Funktion) kann man sehr gut an den Vorfaktoren, die bei jeder partiellen Integration entstehen, erkennen, dass
fed-Code einblenden
für eine einmal stückweise stetig differenzierbare Funktion. (Angenommen wir haben $d_k$ als Fourierkoeffizienten für die Ableitung von f definiert)
Für eine k-mal stückweise stetig differenzierbare gilt dann nach k-mal partieller Integration:
fed-Code einblenden
Daraus folgt dann die Abschätzung für eine k-mal stückweise stetig diffbare Funktion:
fed-Code einblenden

Ist das so plausibel?

LG



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Sismet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
Hey,
2021-05-02 11:21 - eatingpielater in Beitrag No. 6 schreibt:
fed-Code einblenden
Wir wissen, dass für eine zweimal stückweise stetig differenzierbare Funktion die Abschätzung fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
gilt.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
der letzte Summand sollte eigentlich $+\frac{i^2}{k^2}\int\cdots$ lauten.
Damit weißst du dann aber erst, dass $|c_k|=\frac{1}{k^2}|d^2_k|$ ist. Jetzt musst du noch generell die Fourier-Koeffizienten abschätzten, dass geht z.B. mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

2021-05-02 11:21 - eatingpielater in Beitrag No. 6 schreibt:
fed-Code einblenden
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
Da stimmt was nicht.
Grüße
Sismet
\(\endgroup\)


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Sismet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-05-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \)
Der Beweis wäre bei mir dann:
$f$ sei eine $2\pi$-periodische Funktion und  $\|f\|^2_{[0,2\pi]}=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\cdot f(x)dx$ sowie $<f,g>=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\cdot g(x)dx$
Es soll nun gezeigt werden, dass:
Ist $f$ eine $n$-mal stückweise stetig diff'bare Fkt. Dann gilt: $|c_k|\leq\frac{c}{k^n}$ für alle Fourier-Koeffizienten $c_k$ von f und $c\in \IR$.

Dazu verwenden wir:
Lemma 1: Ist $f$ eine stückweise stetig diff'bare Funktion dann gilt:
$|c_k|=|<f,e_k>|=\frac{1}{k}|<f',e_k>|=\frac{1}{k}|d^1_k|$
Beweis: Mittels einmaliger partieller Integration erhalten wir:
$2\pi c_k=\int_0^{2\pi}f(x)e^{-ikx}dx=\left[f(x)\frac{-1}{ik}e^{-ikx}\right]_0^{2\pi}-\frac{i}{k}\int_0^{2\pi}f'(x)e^{-ikx}dx$
Wegen der $2\pi$ Periodizität von $f(x)e^{-ikx}$ folg damit:
$2\pi c_k=\frac{-i}{k}\int_0^{2\pi}f'(x)e^{-ikx}dx=\frac{-2\pi i}{k}d_k^1$ also $|c_k|=\frac{1}{k}|d_k^1|$ mit $d_k^1$ dem $k$-ten Fourier-Koeffizienten von $f'$.

Lemma 2: Ist $f$ $n$ mal stückweise stetig diff'bar dann gilt:
$|c_k|=|<f,e_k>|=\frac{1}{k^n}|<f^{(n)},e_k>|=\frac{1}{k^n}|d^n_k|$
Beweis: $|c_k|=|<f,e_k>|\underset{\text{Lemma 1}}{=}\frac{1}{k}|<f',e_k>|=\frac{1}{k}|d^1_k|=\frac{1}{k}|<f',e_k>|\\
\underset{\text{Lemma 1}}{=}\frac{1}{k^2}|<f'',e_k>|=\frac{1}{k^2}|d^2_k|=\cdots=\frac{1}{k^n}|<f^{(n)},e_k>|=\frac{1}{k^n}|d^n_k|$

Lemma 3: Ist $f$ eine stückweise stetige Funktion, dann gilt:
$|c_k|\leq \|f\|_{[0,2\pi]}$
Beweis: Mit der CSU erhalten wir:
$|c_k|=|<f,e_i>|\overset{CSU}{\leq}\|f\|_{[0,2\pi]}\cdot\|e_i\|_{[0,2\pi]}\overset{\{e_i\}_{i\in \IN} ONS}{=}\|f\|_{[0,2\pi]}$

Beweis der Aussage:
Mit Lemma 2 erhalten wir, da $f$ $n$-mal stückweise stetig diff'bar ist, $|c_k|=\frac{1}{k^n}|d^n_k|$. Da $f^{(n)}$ stückweise stetig ist folgt mit Lemma 3: $|d^n_k|\leq\|f^{(n)}\|_{[0,2\pi]}<\infty$
also insgesamt $|c_k|\leq\frac{1}{k^n} \|f^{(n)}\|_{[0,2\pi]}$ und mit $c= \|f^{(n)}\|_{[0,2\pi]}$ die Behauptung.

Du kannst das natürlich auch alles auf einmal beweisen, ohne die Lemmata, aber so finde ich den Beweis struckturierter.
\(\endgroup\)


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eatingpielater
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So, nachdem ich mich ewig nicht gemeldet habe, sage ich auch nochmal was. Bin leider letzte Woche krank geworden und war dementsprechend nicht bei der Sache.

Vielen Dank, Sismet, für deine ausführliche Hilfe bei der Aufgabe! Ich habe deinen Lösungsweg nun komplett nachvollziehen können und finde ihn echt schön.

2021-05-03 11:19 - Sismet in Beitrag No. 8 schreibt:

Du kannst das natürlich auch alles auf einmal beweisen, ohne die Lemmata, aber so finde ich den Beweis struckturierter.


Tatsächlich finde ich die Lemmata super und strukturiert ist doch immer gut :)
Hiermit erkläre ich diesen Beitrag beendet, ich rede aber nochmal morgen mit meinem Prof, mal sehen, was der sagt. (Deswegen erst morgen offiziell abgeschlossen)

Liebe Grüße



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eatingpielater
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Das Thema ist hiermit beendet!



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