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Analysis » Funktionalanalysis » Folge liegt in l_2-Folgenraum
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Universität/Hochschule Folge liegt in l_2-Folgenraum
losdelkelle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-29


Hi,
leider sitze ich gerade an einer Aufgabe, bei der ich nicht weiß, wie ich anfangen soll. Ich muss zeigen, dass eine Folge im Folgenraum der quadratisch summierbaren unendlichen Folgen reeller Zahlen liegt.

Ein kleiner Tipp wie in anfangen könnte, wär super hilfreich.
Vielen Dank im Voraus!

Es geht hierbei um folgende Aufgabe:

\(\text {Gegeben sei der vollständige normierte Vektorraum der quadratisch summierbaren unendlichen Folgen reeller Zahlen }\\\quad\quad l^2(\mathbb{N}) := \left\{x = (x_n)_{n\in\mathbb{N}} : \forall n \in \mathbb{N_1}~x_n \in \mathbb{R},~~||x||^2_2 := \sum \limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^2<\infty\right\}\\\\\text{Zu zeigen:}\\\text{1. Für } c \in \mathbb{R} \text { und } x=(x_n)_{n\in\mathbb{N_1}} \in l^2(\mathbb{N_1}) \text { definiert }\\\quad\quad\quad\quad\quad(T_c(x))_n := c(x_{n+1}-x_n)\\\quad\text{ eine Folge, die in } l^2(\mathbb{N_1}) \text { liegt. }\\2.\quad\quad\quad\quad T_c:(l^2(\mathbb{N_1}),||.||_2)\rightarrow (l^2(\mathbb{N_1}), ||.||^2)\\\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad~~ x \mapsto T_c(x)\\\text{ist eine stetige lineare Abbildung mit Operatornorm } ||T_c|| \leq 2|c|.\)



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, losdelkelle,

herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Schreibe mal die Norm von \( T_c(x)\) hin und benutze die Dreiecksungleichung.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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losdelkelle
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-30


Hi Wally,
danke für die schnelle Antwort. Nach längerem Rätseln komme ich leider immer noch nicht auf einen grünen Zweig.

Die sinnvollste Abschätzung, die ich hinbekommen habe, ist folgende:

$$\|T_c\|^2_2 = \sum_{n=1}^\infty |c(x_{n+1} - x_n)|^2 \leq \sum_{n=1}^\infty |c(x_{n+1} + x_n)|^2 \leq |c|^2\sum_{n=1}^\infty |(x_{n+1} + x_n)|^2$$
Sieht mir aber leider nicht zielführend aus.

Die Differenz der beiden Folgenglieder $$|x_{n+1}-x_n|$$ deutet auf eine Cauchyfolge hin und wir wissen, dass jede Cauchyfolge beschränkt ist. Hilft mir das bei der Aufgabe?



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SabineMueller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-30


Also ich würde folgendes vorschlagen:

$\|T_cx\|_2^2=\sum_{n=1}^{\infty}|(T_cx)(n)|^2\leq \cdots \leq |c|^2\sum|x(n+1)|^2+2|c|^2\sum|x(n+1)||x(n)|+|c|^2\sum |x(n)|^2$

und dann $\sum|x(n+1)||x(n)|$ mit Cauchy-Schwarz abschätzen



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-30


Hallo,

die Abschätzung ist zu grob. Versuche mal $(x-y)^2\leq 2x^2+2y^2$ zu zeigen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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