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Analysis » Maßtheorie » Produkt-σ-Algebra und Borel-σ-Algebra identisch?
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Universität/Hochschule Produkt-σ-Algebra und Borel-σ-Algebra identisch?
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\lv}{\left\lvert} \newcommand{\rv}{\right\rvert} \newcommand{\lV}{\left\lVert} \newcommand{\rV}{\right\rVert} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}\) Nabend! Sei $N=\{0,1,\ldots,N-1\}$ und betrachte den Produktraum $N^\mathbb{Z}$, also $$ N^\mathbb{Z}=\{x=(\ldots,x_{-1},x_0,x_1,\ldots): x_i\in N\textrm{ für alle }i\in\mathbb{Z}\} $$ Auf $N$ betrachte ich die diskrete Topologie und auf $N^\mathbb{Z}$ die Produkttopologie $\tau$. Jetzt betrachte ich die Menge $C$ aller Zylindermengen $$ [a_1,\ldots,a_n]_m:=\{x\in N^\mathbb{Z}: x_m=a_1,...,x_{m+n}=a_n\} $$ Diese bilden eine Basis der Produkttopologie. Sei $\sigma(C)$ die Produkt-$\sigma$-Algebra, auch Zylinder-$\sigma$-algebbra genannt. Kann man hier zeigen, dass $\sigma(C)$ mit der Borel-$\sigma$-Algebra auf $\mathcal{B}(N^\mathbb{Z})$ übereinstimmt? Grüße! Edit: Ich wüsste gerne, ob meine Gedankengänge stimmen: Setze $X:=N^\mathbb{Z}$. Der Raum $X$ ist metrisch und kompakt, also separabel und hat eine abzählbare Basis $B$. Damit gilt meines Erachtens $$ \tau\subseteq \sigma(B)=\sigma(C) $$ und damit $\mathcal{B}(X)=\sigma(\tau)\subseteq\sigma(C)$. (Hierbei benötigt man die Abzählbarkeit von $B$ um zu folgern, dass $\tau\subseteq\sigma(B)$; jedes Element in $\tau$ ist abzählbare Vereinigung von Mengen aus $B$ und $\sigma(B)$ ist abgeschlossen bzgl. abzählbarer Vereinigungen. Auf der anderen Seite gilt nämlich: Die Basis der Zylindermengen ist doch überabzählbar und somit könnte eine Menge aus $\tau$ also eine überabzählbare Vereinigung aus Mengen aus $\tau$ sein, was nicht in $\sigma(C)$ enthalten sein muss? Daher benötigt man eine abzählbare Basis, oder?) Weiter gilt $C\subseteq\tau$ und damit $\sigma(C)\subseteq\sigma(\tau)=\mathcal{B}(X)$. \(\endgroup\)

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