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| Autor |
 Bild einer Nullmenge ist Nullmenge, Wurzelfunktion |
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Monopoly
Junior 
Dabei seit: 15.01.2021
Mitteilungen: 8
 |  Themenstart: 2021-05-01
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Hallo,
ich möchte zeigen, dass für eine Nullmenge N auch f(N) eine Nullmenge ist. Wobei f die Wurzelfunktion \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)= \sqrt(x)\) ist.
D.h. für jedes \( \epsilon > 0 \) brauchen wir eine Folge \( (I_n)_n \) von Intervallen derart, dass
\[ f(N) \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} f(I_n), \ \sum_{n=1}^{ \infty }\lambda^1(f(I_n)) \leq \epsilon \] gilt.
Jetzt ist die Frage, wie ich denn die Folge wählen kann.
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2646
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-01
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Hallo,
Die Eigenschaft die du hier benutzen kannst und die äquivalent zu deiner Behauptung ist, ist dass $\sqrt x$ absolut stetig ist.
Sei $N\subset [0,1]$ eine $\lambda^1$-Nullmenge und sei $\varepsilon >0$ vorgegeben. Da $f$ absolut stetig ist gibt es $\delta >0$ derart, dass
$$
\sum_{i=1}^n |f(b_i)-f(a_i)|<\varepsilon
$$
falls
$$
\sum_{i=1}^n (b_i-a_i)<\delta
$$
für disjunkte Intervalle $(a_i,b_i)$. Sei $K\subseteq N$ kompakt. Nun gibt es eine offene Menge $O$ mit $K\subset O\subset [0,1]$ derart, dass $\lambda^1(O)\leq \lambda^1(K)+\tfrac{\delta}{2}$ (Warum?). Da $O$ außerdem offen ist, gibt es höchstens abzählbar viele disjunkte Intervalle $(a_i,b_i)$, die $O$ überdecken. Da $K$ kompakt ist, überdecken bereits endlich viele davon $K$, also
$$
K\subset \bigcup_{i=1}^n (a_i,b_i).
$$
Damit folgt
$$
\lambda^1\left(\bigcup_{i=1}^n (a_i,b_i)\right)=\sum_{i=1}^n (b_i-a_i)<\delta.
$$
Nach der Bemerkung am Anfang folgt damit
$$
\lambda^1 \left(f\left(\bigcup_{i=1}^n (a_i, b_i) \right) \right) \leq \sum_{i=1}^n|f(b_i)-f(a_i)|<\varepsilon.
$$
Da $\lambda^1$ monoton ist, erhalten wir also auch $\lambda^1(f(K))<\varepsilon$. Jetzt fehlt nicht mehr viel um zu schließen, dass $\lambda^1(f(N))=0$.
LG Nico
P.S.: das letzte $\leq$-Zeichen muss eventuell noch etwas genauer begründet bzw. etwas modifiziert werden. Da dein $f$ monoton ist, sollte das für dein $f$ aber kein Problem sein. Ich denke aber, dass dir dieser Ansatz weiterhelfen sollte.
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