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| Autor |
  Bin ich richtig vorgegangen (Funktionentheorie)? |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2021-05-01
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Hey,😃
ich habe eine kurze Frage zu der Herangehensweise zu diesem Beweis. Ich soll zeigen, dass f(z)**2=z überall auf einer offenen Teilmenge aus U in C komplex differnzierbar ist, wobei 0 nicht in U liegt.
Mit den Cauchy-Riemannschen-DGL schaffe ich es nicht, dann müsste ich die n-te Wurzel ziehen und kann meinen Real-und Imaginärteil nicht mehr auseinanderziehen.
Ich habe mir nun dazu überlegt, dass ich ja eigentlich keine andere Wahl habe, als über den Grenzwert zu argumentieren. Aber das führt hier auch zu keinem Ergebnis. Habe ich die Funktionsvorschrift so überhaupt richtig interpretiert, bzw. habt ihr vielleicht noch eine andere Idee, dass zu zeigen?
$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{f(z_0+x)^2-f(z_0)}{x}=\lim\limits_{x\to\infty} \frac{z_0+x-f(z_0)}{x}$
Viele Grüße
happy_hippo
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 Profil
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Sismet
Senior 
Dabei seit: 22.03.2021
Mitteilungen: 137
Wohnort: Heidelberg
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\IR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\IN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\IC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\ba}{\begin{align*}}
\newcommand{\ea}{\end{align*}}
\newcommand{\be}{\begin{equation*}}
\newcommand{\ee}{\end{equation*}}
\newcommand{\wo}{\backslash}
\)
Hey,
ist die Aufgabe richtig wiedergegeben?
Wenn die Aufgabe lautet zeige dass die Funktion $g:\IC\rightarrow\IC: x \mapsto f^2(x)=x$ auf einer offenen Teilmenge die die 0 nicht enthält komplex diff'bar ist, dann ist die Aussage trivial.
Wenn die Aufgabe ist zeige, dass jede Funktion $f$ mit $f^2(z)=z$ komplex diff'bar ist auf $U\subset\IC\wo\{0\}$ offen. Dann ist die Aussage falsch. Betrachte dazu $f:\IC\wo\{0\}\rightarrow\IC\wo\{0\}, z \mapsto e^{\frac{1}{2}\ln(z)}$ mit $\ln$ den Hauptzweig des Logarithmus. Dann erfüllt $f$ die Voraussetzung, aber $f$ ist auf der negativen reellen Gerade nicht einmal stetig also schon recht nicht komplex diff'bar.
Dein Grenzwert macht im übrigen kein Sinn, $x$ soll gegen 0 betrachtet werden und wieso steht nur bei $f(x+z_0)$ ein Quadrat?
Hier noch ein Beitrag zu dem Thema (besonders die 2.Antwort).
Grüße
Sismet
\(\endgroup\)
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Profil
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-01
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Hey Sismet,
vielen Dank, dass du mir auch auf diese Frage geantwortet hast. Die Aufgabe stimmte so. Ich werde versuchen, diese Aufgabe dann nochmal mit dem, von dir korrigierten Grenzwert zu lösen.
Danke auch für den Link!😄
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Profil
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Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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