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Funktionentheorie » Holomorphie » Laurentreihen von holomorphen Wurzeln
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Universität/Hochschule Laurentreihen von holomorphen Wurzeln
mpc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-02


Mein Beispiel lautet: Zeige , dass es in \( G_1 = \{\vert z \vert <1\}\) und \( G_2=\{\vert z \vert  >1 \} \) . holomorphe Funktionen \(f_1 , f_2\) gibt , so dass \(f_i ^2(z) = 1+z^2 \) auf \(G_i , i =1,2\) gilt. Bestimme die Laurentreihenentwicklungen dieser Funktionen in \(G_1 , G_2\).

Die Existenz habe ich glaube ich geschafft, aber wie ich davon die Reihenentwicklungen bestimmen soll weiss ich überhaupt nicht.

Existenz:  In \(G_1 , G_2\) hat \(g(z)=1+z^2\) keine Nullstellen. Daher gibt es jeweils einen holomorphen Logarithmus \(F_i \) auf \(G_i \) , der \(e^{F_i}=g\) auf \(G_i , i=1,2\) erfüllt. Geforderte \(f_i\) sind dann zum Beispiel \(f_i = e^{\frac{1}{2}{F_i}} , i=1,2\).

Die Formel für Koeffizienten der Laurentreihenentwicklung von \(f_1\) um \(0\) , bis auf einen Vorfaktor: \(a_n=\int_{\vert z \vert =1} \frac{f_1(z)}{z^{n+1}}dz\), \(n \in \mathbb{Z}\). Da sehe ich aber nicht was ich gross umformen oder einsetzen kann..

Der holomorphe Logarithmus \(F_i\) ist als Stammfunktion von \(\frac{g'}{g}\) auf \(G_i , i=1,2\) definiert.

Über Hinweise würde ich mich freuen, Lg!



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-02


Hallo,

für $f_1$ betrachte
\[
f_1(z)= (1+z^2)^{1/2}=\sum_{n \geq 0}\binom{1/2}{n}z^{2n}
\] Das konvergiert für $|z|<1$.

Für $f_2$ nimm
\[
f_2(z)= z(1+z^{-2})^{1/2}=z\sum_{n \geq 0}\binom{1/2}{n}z^{-2n}
\] Das konvergiert für $|z|>1$.



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mpc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-02


Das ist ein ganz anderer Zugang als der über den holomorphen Logarithmus, oder?
Und diese Potenzreihen konvergieren , und sind deshalb in den gewünschten Gebieten holomorph. Ok, danke einmal!



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-02


Ja, genau, ich habe zumindest nichts mit dem Logarithmus gemacht.



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