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 Volumen zwischen zwei Flächen |
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Spedex
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 |  Themenstart: 2021-05-02
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\(}{\left(}
\newcommand{\)}{\right)}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\)
Hallo, angenommen ich habe zwei Flächen, \(z=x^2+2y\) und \(z=y+1\). Nun möchte ich mittels CAS das Volumen zwischen den beiden Flächen im positiven Oktanten darstellen und bestimmen.
Die beiden Fläche kann man gut mittels Plot3D darstellen:
\sourceon Mathematica
Plot3D[{x^2 + 2 y, y + 1}, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]
\sourceoff
Allerdings ist da natürlich noch nicht das Volumen eingezeichnet. Ist es möglich das Volumen einzuzeichnen und zu bestimmen?
Mit bestimmen meine ich auf "direkte" Art und Weise, nicht mittels:
\sourceon Mathematica
In[1]:= Integrate[ Integrate[Integrate[1, {z, x^2 + 2 y, y + 1}], {y, 0, 1 - x^2}], {x, 0, 1}]
Out[1]= 4/15
\sourceoff
Liebe Grüße
Spedex\(\endgroup\)
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Spedex
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-03
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Sorry, mein Fehler, es wurde schonmal in einem Thread behandelt:
\sourceon Mathematica
r = ImplicitRegion[{0 <= x <= 1 && 0 <= y <= 1 - x^2 && x^2 + 2 y <= z <= y + 1}, {x, y, z}];
Print["Volumen=", Volume[r], " m^3"];
RegionPlot3D[r, PlotRange -> {{0, 1}, {0, 1}, {0, 2}}, PlotPoints -> 100, AxesLabel -> Automatic, AspectRatio -> 1]
\sourceoff
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Spedex
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\(}{\left(}
\newcommand{\)}{\right)}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\)
Ok, sollte es eine noch einfacher Möglichkeit geben, zB dass man automatisiert das Volumen zwischen denen Ebenen bestimmt anstelle das Volumen per Gleichungen im Sinne von \(\dots \leq x \leq \dots, \dots \leq y \leq \dots, \dots \leq z \leq \dots \) anzugeben, bin ich dafür auch offen, falls das jemand von euch weiß.
Liebe Grüße
Spedex\(\endgroup\)
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hyperG
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-03
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Schön, dass Du meinen Beitrag
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=253578&start=0#p1843208
noch gefunden hast.
Was bitte soll denn noch einfacher sein, als die 3 Randbedingungen für die 3 Raumkoordinaten? Die Sprache der Mathematik ist bereits die eindeutigste.
Die 2 verknüpften Befehle Volume[ImplicitRegion[...
ermitteln doch bereits das Gewünschte durch 3fach Integral.
Ich vermute, dass Dir nur die Obergrenzen von x & y "zu viel" waren, da Du ja im 1. Beitrag alles bereits angegeben hattest. Man sieht jedoch sehr schön, dass die beiden Flächen OFFEN sind und ein unendlich großes Volumen ergeben:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47407_2FlaechenOffen.PNG
Man muss also nur die offenen Stellen schließen, damit nur x>=0 und y>=0 betrachtet werden:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47407_2FlaechenGeschlossen.PNG
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hyperG
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-03
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Man kann auch noch
x>=0 && y>=0
zu
x>=0>=-y
zusammenfassen,
dann bleibt ein einziges &&
Grüße
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hyperG
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-04
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\quoteon(2021-05-03 20:07 - Spedex in Beitrag No. 2)
...das Volumen zwischen denen Ebenen bestimmt anstelle das Volumen per Gleichungen im Sinne von \(\dots \leq x \leq \dots, \dots \leq y \leq \dots, \dots \leq z \leq \dots \) anzugeben, bin ich dafür auch offen, falls das jemand von euch weiß. ...
\quoteoff
Der 1. Parameter von ImplicitRegion ist eine Funktion mit den Parametern x,y,z -> die als Ergebnis bool {also True oder False} ergeben muss.
Das kann eine einfache (Un-)Gleichung sein -> wie bei der Kugel:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/47407_RegionKugel.png
... oder eine Kombination aus mehreren Teil-Gleichungen sein,
die mit dem mathematischen Bool-Funktionen/Operatoren {z.B. UND Symbol kurz: && } verknüpft sind.
Diese 3 Schreibweisen ergeben das SELBE boolsche Ergebnis:
\sourceon Mathematica
x>=0 && y>=0
And[x>=0,y>=0]
x>=0>=-y
\sourceoff
Oder mit Vorzeichenfunktion -> da kommt man ohne Ungleichung und ohne && Symbol aus:
\sourceon Mathematica
Sign[x] + Sign[y] == 2
ist identisch zu:
x > 0 && y > 0
\sourceoff
Und Mathematica hat viele Funktionen! Allein die boolschen:
And(&&,∧) ▪ Or(||,∨) ▪ Not(!,¬) ▪ Nand(⊼) ▪ Nor(⊽) ▪ Xor(⊻) ▫ Xnor() ▪ Implies() ▪ Equivalent(⧦) ▪ Majority...
In unserem Beispiel könnte man auch schreiben:
\sourceon Mathematica
r= ImplicitRegion[And[Sign[x] + Sign[y] == 2, x^2 + 2 y <= z,z <= y + 1], {x, y, z}];
\sourceoff
(ergibt selbe Volumen & selbe 3D-Grafik)
Jedoch funktioniert komischerweise kein Integral. Selbst wenn ich eine Funktion erstelle, die als Ergebnis x-y^2 ergibt, will ImplicitRegion einfach nicht damit rechnen...
Grüße Gerd
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