| Autor |
  Möbius-Transformation |
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Zitronenlimonade
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 23.01.2019
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 |  Themenstart: 2021-05-03
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Hallo :) Ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe und würde mich sehr über Tipps und Hinweise freuen.
Determine the Möbius transformation f explicitly which fulfils f(0)=i, f(i)=\inf and f(\inf )=1. Sketch the images of the following subsets of \C\cup\inf under f:
a) Q_1 = {z\el\ \IC : Re(z)>0, Im(z)>0},
b) Q_2 = {z\el\ \IC : Re(z)>0, Im(z)<0},
c) Q_3 = {z\el\ \IC : Re(z)<0, Im(z)>0},
d) Q_4 = {z\el\ \IC : Re(z)<0, Im(z)<0},
Where are the real and the imaginary axis mapped to?
Die Möbius Transformation habe ich bereits bestimmt: f(z)= (z+1)/(z-i).
Meine Probleme liegen aber beim Skizzieren, mir fehlt einfach irgendwie die Vorstellung dafür. Ich weiß, dass Möbius Transformationen Kreise und Geraden auf Kreise und Gerade abbilden, doch ich weiß nicht, wie ich es hierfür benutzen kann.
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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-03
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Hallo Zitronenlimonade,
überlege dir zunächst, wohin die reelle Achse bzw. die imaginäre Achse abgebildet wird. Das kannst du machen, indem du ein paar Punkte der reellen bzw. imaginären Achse in f einsetzt. Außerdem weißt du ja, dass entweder eine Gerade oder ein Kreis rauskommen muss.
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Zitronenlimonade
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-03
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Erst einmal danke für deine Antwort!
Ich habe mehrere verschiedene komplexe Zahlen für z eingsetzt, wobei der Real- und Imaginärteil von z größer als 0 ist. Doch es kommen nur irgendwelche Kurven heraus.
Wahrscheinlich stelle ich mir gerade einfach nur dumm an. Es würde ansatzweise ein Halbkreis heraus kommen, wenn ich Im(z)=0 setze und dann für den Realteil Werte einsetze, doch das ist laut der Menge ja nicht erlaubt.
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-03
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Hallo,
setze einmal nur rein reelle oder rein imaginäre Zahlen ein, um zu sehen, was mit den Achsen passiert. Wie StrgAltEntf ja schon geraten hat. 🙂
Gruß, Diophant
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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Die Bilder von 0, -1, i und \( \infty\) lassen sich sher leicht bestimmen.
Viele Grüße
Wally
\(\endgroup\)
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Zitronenlimonade
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|  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-03
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Oh je... jetzt ist der Groschen endlich gefallen! Ich danke euch! :D
Der Realteil wird dann auf einen Kreis abgebildet und der Imaginärteil auf eine Gerade.
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-03
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\quoteon(2021-05-03 18:19 - Zitronenlimonade in Beitrag No. 5)
Oh je... jetzt ist der Groschen endlich gefallen! Ich danke euch! :D
Der Realteil wird dann auf einen Kreis abgebildet und der Imaginärteil auf eine Gerade.
\quoteoff
Genau! 🙂
Was kannst du nun für Q1, ..., Q4 schließen?
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Zitronenlimonade
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-03
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Ich müsste dann theoretisch doch nur noch die Teile vom Kreis und der Geraden nehmen, die in der Menge stehen.
Also für Q1 wäre es der Teil vom Kreis den ich für die positiven reellen Zahlen bekommen habe und den Teil der Geraden den ich für die positiven imaginären Zahlen bekomme habe.
Und genauso würde ich die Anforderungen für Q2,Q3 und Q4 durchgehen.
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Diophant
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-05-03
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Hallo,
die reelle und die imaginäre Achse unterteilen die komplexe Ebene in vier Quadranten, also Gebiete.
Die Gerade und der Kreis tun das ebenfalls. Dies noch als kleinen Anschubser...
Gruß, Diophant
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Zitronenlimonade
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-03
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Ich darf also nicht die Teile vom Kreis und der Geraden nehmen, für die ich die Bedingungen erfüllt habe, sondern muss die nehmen, die quasi im richten Quadranten liegen?
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Diophant
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-05-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2021-05-03 19:18 - Zitronenlimonade in Beitrag No. 9)
Ich darf also nicht die Teile vom Kreis und der Geraden nehmen, für die ich die Bedingungen erfüllt habe, sondern muss die nehmen, die quasi im richten Quadranten liegen?
\quoteoff
Hm, die Frage ist schwer zu verstehen. Du musst letztendlich einfach nur die entstandenen Gebiete (zwei Halbkreise sowie zwei Halbebenen bis auf die Halbkreise) den ursprünglichen Mengen \(Q_1\) bis \(Q_4\) zuordnen (mit Begründung, denke ich mal).
Mach doch mal eine Skizze mit dem Kreis und der Geraden. Wie verläuft die Gerade denn, wo ist der Kreismittelpunkt und was ist der Kreisradius?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Zitronenlimonade
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-03
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Die Skizze die ich gemacht hatte ist diese:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51109_0001.jpg
Die Gerade geht durch den Mittelpunkt vom Kreis.
Ich habe leider aber immer noch nicht verstanden, was genau du mit deinem Hinweis gemeint hast.
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.12, eingetragen 2021-05-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
du hast eine Gerade als Bild der imaginären Achse. Diese teilt die komplexe Ebene in zwei Halbebenen. Dann hast du den Kreis als Bild der reellen Achse, der durch die Gerade in zwei Halbkreise zerteilt wird. Macht insgesamt vier Mengen:
- das innere der beiden Halbkreise
- die beiden Halbebenen (ohne Rand), zumindest die Teile, die nicht im Kreis liegen.
Jede deiner Mengen \(Q_1\) bis \(Q_4\) wird auf eine der beschriebenen Mengen abgebildet. Da kann man eigentlich durch einfache Überlegungen darauf kommen, welche Menge da wo landet.
Sonst rechne jeweils für jeden Quadranten für ein \(z\) das Bild aus.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.13, eingetragen 2021-05-03
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\quoteon(2021-05-03 19:58 - Zitronenlimonade in Beitrag No. 11)
Die Skizze die ich gemacht hatte ist diese
\quoteoff
Die Skizze stimmt. Ich habe auf die Schnelle auch mal eine gemacht:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35803_Moebius.PNG
Z. B. wird die negative imaginäre Achse (blau) auf die Strecke zwischen 1 und i abgebildet. Und die positive reelle Achse (grün) wird auf den Halbkreis rechts oben abgebildet.
Q2 wird links von der blauen und der grünen Linie begrenzt. Also muss das für f[Q2] ebenfalls gelten.
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Zitronenlimonade
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-04
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Ah super! Ich danke euch! :D
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