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Physik » Elektrodynamik » Abgeschirmtes Coulomb-Potenzial
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Universität/Hochschule J Abgeschirmtes Coulomb-Potenzial
Irrlicht2040
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-04


Hallo,

ich soll das Elektrische Feld \( E(\vec{r}) \) und die Ladungsdichte \( \rho (\vec{r})\) berechnen.

Hierzu habe ich das Potenzial \( \varphi \vec (r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^{-\lambda r}}{r}\) gegeben

Als Tipp wird mir gegeben, dass \(\frac{e^{\lambda r}}{r} = \frac{1}{r} + \frac{e^{-\lambda r}-1}{r} \) ist.

Coulomb-Potential, Ladungsverteilung weiss ich, dass ich \( \frac{1}{r} = 4\pi \) sein muss, dies hatten wir auch in der Übung, da haben wir

\( \int \int \int dV \Delta \frac{1}{r} = \oint\int d\vec{s}\vec{\nabla}\frac{1}{r} \) wobei sie \( d\vec{s} \) in Kugelkoordinaten angegeben hat \( d\vec{s} = r^2 sin(\theta) d\theta d\theta d\varphi e\vec{r} \)

\(\vec{\nabla}\frac{1}{r} = -\frac{1}{r^2}e\vec{r} \)
berechnet.

Nun wollte ich das gleiche für \(\frac{e^{-\lambda r}-1}{r} \).
Habe hierfür r = \( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \) verwendet und bekomme dann für mich nichts raus, was dem aus dem Link ähnlich sieht.

Ich bekomme raus, \(\frac{d}{dx} = -\frac{e^{-\lambda r}\lambda x}{r^2}-\frac{(e^{-\lambda r}-1)x}{r^3} e_x \)
dies kann ich dann noch für d/dy und d/dz machen, wobei sich nur das x in die jeweilige Variable ändert.

es sollte aber dies rauskommen.

\( \rho(\vec{r})=q\varepsilon_0(\frac{\alpha^2}{r} e^{-\alpha r}+4\pi\delta^3(\vec{r})) \)

also die \(4\pi\delta(\vec{r})\) kommt von \(\frac{1}{r}\)

wenn ich nun aber mein Ergebnis mit dem ds Integriere bekomme ich ein weiteres 4 \(\pi \), welches ich nicht raus bekomme.

lg Stephan



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moep
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-09


Hallo,

2021-05-04 19:56 - Irrlicht2040 im Themenstart schreibt:
Coulomb-Potential, Ladungsverteilung weiss ich, dass ich \( \frac{1}{r} = 4\pi \) sein muss, dies hatten wir auch in der Übung, da haben wir [...]

wie bitte?

2021-05-04 19:56 - Irrlicht2040 im Themenstart schreibt:

Ich bekomme raus, \(\frac{d}{dx} = -\frac{e^{-\lambda r}\lambda x}{r^2}-\frac{(e^{-\lambda r}-1)x}{r^3} e_x \)
dies kann ich dann noch für d/dy und d/dz machen, wobei sich nur das x in die jeweilige Variable ändert.

es sollte aber dies rauskommen.

\( \rho(\vec{r})=q\varepsilon_0(\frac{\alpha^2}{r} e^{-\alpha r}+4\pi\delta^3(\vec{r})) \)


Ich nehme an, dass es $\frac{d}{dx} \frac{e^{-\lambda r}-1}{r} = ...$ heissen soll? Und weiter machst du das fuer y und x..., aber dann hast du erst die erste Ableitung von $\varphi$ ausgerechnet, oder? Aber $\rho \propto \Delta \varphi$, also "zweite" Ableitung noetig, oder?

Und hattet ihr denn schon die Darstellung der Differentialkoperatoren darin? Das wuerde sich in diesem Kontext sehr anbieten.

Gruss,
moep



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Irrlicht2040
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-11


Hey moep,

danke für Deine Hilfe,

die Lösung ist einfacher gewesen, als mein Ansatz. Ich musste über dr integrieren um auf mein E Feld zu kommen und anschließend erneut eine Ableitung bilden.

lg

Stephan



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