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| Autor |
  Überthaleskreis |
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Bekell
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 |  Themenstart: 2021-05-05
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guten Tag,
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_U_berThales-3.png
Im Bild seht ihr den Satz des Thales und den Überthaleskreis. Damit meine ich den Kreis, der entsteht, wenn die diagonal in den pythagoräischen Quadraten liegenden Punkte D und G ihre Spur hinterlassen. Wir gehen davon aus, dass, nicht wie im Bild zu sehen, der Radius des Thaleskreises CA = 1 ist.
1. Wie berechnet man den Radius des Überthaleskreises?
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Diophant
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-05
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Hallo Bekell,
schön. Und was ist deine Frage dazu?
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Geometrie' von Diophant]
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Bekell
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05
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\quoteon(2021-05-05 11:02 - Diophant in Beitrag No. 1)
Hallo Bekell,
schön. Und was ist deine Frage dazu?
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Geometrie' von Diophant]
\quoteoff
Hab sie unten nachgetragen, die Fragen.
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-05
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2021-05-05 10:59 - Bekell im Themenstart)
1. Wie berechnet man den Radius des Überthaleskreises?
\quoteoff
Wenn man dann einmal weiß, dass es ein Kreis ist, folgt der Radius aus einer einfachen Symmetrieüberlegung: er ist doppelt so groß wie der des Thaleskreises.
\quoteon(2021-05-05 10:59 - Bekell im Themenstart)
2. Und warum ist die Spur ein Kreis, obwohl sich doch die Länge der Diagonale dauernd ändert.
\quoteoff
Das kann man ganz gut mit dem Sehnensatz begründen.
\quoteon(2021-05-05 10:59 - Bekell im Themenstart)
3. Liegt der Mittelpunkt des Überthaleskreises auf dem Thalekreis?
\quoteoff
Ja. Auch hier führt dich wieder eine geeignete Symmetrieüberlegung zum Ziel.
Du musst bei all dem beachten, dass für die Strecken \(\overline{AA'}\), \(\overline{A'B}\) und \(\overline{AB}\) der Satz des Pythagoras gilt, unabhängig davon, wo diese Strecken gerade auftauchen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Bekell
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05
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Ja, ich seh es alles selber ....
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/23651_U_berThales-2.png
Wenn man so einstellt, sieht man alles ... Fragen beantwortet....
Danke
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Bekell
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05
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\quoteon(2021-05-05 11:13 - Diophant in Beitrag No. 3)
Hallo,
\quoteon(2021-05-05 10:59 - Bekell im Themenstart)
1. Wie berechnet man den Radius des Überthaleskreises?
\quoteoff
Wenn man dann einmal weiß, dass es ein Kreis ist, folgt der
${\color{red} Radius}$ aus einer einfachen Symmetrieüberlegung: er ist doppelt so groß wie der des Thaleskreises.
\quoteoff
Das stimmt ja nicht, Diophant! Der Radius des Überthaleskreises ist die Hypothenuse, ergo:
sqrt(2 * r(Thales)^2)
Du meinst bestimmt die Fläche, denn flächenmäßig ist der Überthaleskreis genau 2 Thaleskreise.... sieht man aus der Zeichnung.
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Diophant
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|  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-05
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
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\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
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\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Bekell,
\quoteon(2021-05-05 11:25 - Bekell in Beitrag No. 5)
\quoteon(2021-05-05 11:13 - Diophant in Beitrag No. 3)
\quoteon(2021-05-05 10:59 - Bekell im Themenstart)
1. Wie berechnet man den Radius des Überthaleskreises?
\quoteoff
Wenn man dann einmal weiß, dass es ein Kreis ist, folgt der
${\color{red} Radius}$ aus einer einfachen Symmetrieüberlegung: er ist doppelt so groß wie der des Thaleskreises.
\quoteoff
Das stimmt ja nicht, Diophant! Der Radius des Überthaleskreises ist ja die Hypothenuse, ergo:
sqrt(2 * r(Thales)^2)
\quoteoff
Recht du hast. Mein Fehler, sorry. Es ist \(r_{\text{ÜTK}}=r_{TK}\cdot\sqrt{2}\).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Bekell
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05
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Was denkst Du, für welche Klasse ist die Aufgabenstellung geeignet?
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Caban
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 | Beitrag No.8, eingetragen 2021-05-05
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Hallo
Da, der Sehnensatz in der Schule meist absolut unbekannt ist, würde ich 11 Klasse sagen. Die Schüler könnten dann die Aufgabe als Extremwertaufgabe lösen.
Gruß Caban
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Diophant
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-05
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\quoteon(2021-05-05 11:51 - Bekell in Beitrag No. 7)
Was denkst Du, für welche Klasse ist die Aufgabenstellung geeignet?
\quoteoff
Ich bin da etwas raus aus der Materie, würde aber sagen: so ca. ab 9. Klasse Gymnasium. Das wäre jedenfalls eine sehr schöne Übungsaufgabe zum Arbeiten mit GeoGebra (oder jeder anderen dynamischen Geometriesoftware).
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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Bekell
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05
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\quoteon(2021-05-05 12:12 - Caban in Beitrag No. 8)
Hallo
Da, der Sehnensatz in der Schule meist absolut unbekannt ist, würde ich 11 Klasse sagen. Die Schüler könnten dann die Aufgabe als Extremwertaufgabe lösen.
Gruß Caban
\quoteoff
Könntest Du das liebenswürdigerweise auch mal durchführen hier, Caban? Danke
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
Vielleicht auch noch einen Weg zeigen, wie man den Anteil des Überthaleskreises berechnet, der unterhalb des Thaleskreisesdurchmesser liegt. Vermutlicvh wenn R TK = 1, dann RÜTK = 2, dann ist die Fläche des Segmentes des ÜTK, welches unter dem Durchmesser TK liegt, = 1/4
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Caban
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-05-05
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50476_cfgdffhtr.png
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Bekell
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05
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Diophant
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| Beitrag No.13, eingetragen 2021-05-05
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Bekell,
\quoteon(2021-05-05 12:14 - Bekell in Beitrag No. 10)
Vielleicht auch noch einen Weg zeigen, wie man den Anteil des Überthaleskreises berechnet, der unterhalb des Thaleskreisesdurchmesser liegt. Vermutlicvh wenn R TK = 1, dann RÜTK = 2, dann ist die Fläche des Segmentes des ÜTK, welches unter dem Durchmesser TK liegt, = 1/4
\quoteoff
Nein, so einfach ist es nicht. Wenn wir jetzt den Radius des Überthaleskeises \(R\) und den des Thaleskreises \(r\) nennen, dann ist die Fläche des Segments gleich \(A=\frac{R^2}{2}\left(\frac{\pi}{2}-1\right)\approx 0.57\cdot\frac{R^2}{2}=0.57\cdot r^2\).
Siehe dazu die zugehörige Wikipediaseite (gleich die erste der Flächenformeln).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Bekell
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05
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\quoteon(2021-05-05 12:54 - Diophant in Beitrag No. 13)
Hallo Bekell,
\quoteon(2021-05-05 12:14 - Bekell in Beitrag No. 10)
Vielleicht auch noch einen Weg zeigen, wie man den Anteil des Überthaleskreises berechnet, der unterhalb des Thaleskreisesdurchmesser liegt. Vermutlicvh wenn R TK = 1, dann RÜTK = 2, dann ist die Fläche des Segmentes des ÜTK, welches unter dem Durchmesser TK liegt, = 1/4
\quoteoff
Nein, so einfach ist es nicht. Wenn wir jetzt den Radius des Überthaleskeises \(R\) und den des Thaleskreises \(r\) nennen, dann ist die Fläche des Segments gleich \(A=\frac{R^2}{2}\left(\frac{\pi}{2}-1\right)\approx 0.57\cdot\frac{R^2}{2}=0.57\cdot r^2\).
Gruß, Diophant
\quoteoff
Du hast recht, ich hatte die 4 Ecken innerhalb des Thalesquadrates, die ausserhalb des Thaleskreises liegen, schludrigerweise mit einberechnet.
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