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Analysis » Stetigkeit » Gleichmäßige Stetigkeit mit Stetigkeitsmodul
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Universität/Hochschule Gleichmäßige Stetigkeit mit Stetigkeitsmodul
maria_emf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-05


Hallo,

ich sitze jetzt schon eine Weile an einer Aufgabe und weiß gar nicht richtig, wie ich anfangen soll.

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Ich würde mich über jede Hilfe freuen
Grüße Maria



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maria_emf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05


Vielleicht noch als kurze Ergänzung, mein bisheriger Ansatz war folgender:

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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-05


Das $w$ in der Aufgabenstellung ist eine Funktion. Du behandelst es aber wie eine Zahl.



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maria_emf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05


Ja das hab ich mir wohl zu einfach überlegt :/
Hast du vielleicht einen Tipp oder Ansatz, der mir helfen könnte?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-05


2021-05-05 20:09 - maria_emf in Beitrag No. 3 schreibt:
Hast du vielleicht einen Tipp oder Ansatz, der mir helfen könnte?

Fang am besten mal mit der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit an: Du weißt, dass es zu jedem $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ gibt, so dass $d_Y\bigl(f(x),f(y)\bigr)<\varepsilon$ für alle $x,y\in X$ mit $d_X(x,y)<\delta$ ist.

Jetzt betrachte $D(t):=\sup\bigl\{d_Y(f(x),f(y)\bigr):
d_X(x,y)\le t\bigr\}\in[0,\infty]$ für $t\in[0,\infty)$ und zeige:
1. $t\mapsto D(t)$ ist monoton.
2. Es gibt ein $c$ mit $D(c)<\infty$.
3. Es ist $\lim_{t\to0+}D(t)=0$.

Du kannst dann $w(t)=D(t)$ für $t\in[0,c]$ setzen und $w$ auf $(c,\infty)$ irgendwie monoton fortsetzen – z.B. einfach konstant lassen.



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maria_emf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05


Ich bin mir relativ unsicher, weil ich mit Metriken noch so meine Probleme habe, aber ich probiers mal:

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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-05


Es schimmert bei 1. und 3. eine richtige Idee durch, aber im Detail ist das nicht sehr brauchbar.

Bei 1. kannst du ausnutzen, dass die Menge $\bigl\{d_Y(f(x),f(y)\bigr):
d_X(x,y)\le t\bigr\}$ kleiner wird, wenn man $t$ kleiner macht. Und dann $M\subseteq N\implies \sup M\le\sup N$ verwenden.

Bei 2. kannst du die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit für irgendein $\varepsilon$ (also z.B. für $\varepsilon=1$) verwenden.

Bei 3. kannst du mit der $\varepsilon/\delta$-Definition des Grenzwerts starten.



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maria_emf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-05


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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-05-06


Bei 1. solltest du, da $\delta$ eine kontinuierliche Variable ist, statt $\delta$ und $\delta+1$ allgemein $\delta_1$ und $\delta_2$ mit $\delta_1\le\delta_2$ betrachten.

Bei 3. ist eine Lücke in der Argumentation. Du musst ja irgendwo zeigen, dass es zu jedem $\varepsilon>0$ ein passendes $\beta>0$ gibt. Und das kannst du machen, indem du zu diesem $\varepsilon$ erstmal das $\delta$ aus der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit betrachtest.



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maria_emf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-06


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Ich weiß nicht, ob das bei 3. so Sinn macht. In meinem Kopf klingt es logisch, aber das muss nichts bedeuten🙃



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-05-06


Bei 3. ist immer noch unklar, was woraus folgt.

Versuche es mal mit folgenden Schritten:
* Nimm ein $\varepsilon>0$.
* Aufgrund der gleichmäßigen Stetigkeit gibt es ein $\delta>0$ mit ...
* Für alle $t$ mit $0\le t<\delta$ ist $w(t)\le\varepsilon$.
* Damit haben $\varepsilon$ und $\delta$ genau die Eigenschaften, die man für den Nachweis von $w(t)\to0$ für $t\to0+$ braucht.



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maria_emf
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Dazu habe ich nochmal eine Verständnisfrage.

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Deswegen hatte ich das davor mit dem min{...}.
Wo liegt hier mein Denkfehler?



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zippy
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2021-05-06 11:06 - maria_emf in Beitrag No. 11 schreibt:
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Ja, es kann sein, dass $d_X(x,y)$ größer als $d_Y\bigl(f(x),f(y)\bigr)$ ist. Aber warum sollte das ein Problem sein?

Für $0\le t<\delta$ gilt für $x$ und $y$ ist in der Definition $
w(t)=\sup\bigl\{d_Y\bigl(f(x),f(y)\bigr):d_X(x,y)\le t\bigr\}
$ die Abschätzung $d_X(x,y)\le t<\delta$.

Daraus folgt aufgrund der Rolle, die $\delta$ bei der gleichmäßigen Stetigkeit spielt, die Abschätzung $d_Y\bigl(f(x),f(y)\bigr)<\varepsilon$. Und diese Abschätzung überträgt sich auf das Supremum und damit auf $w(t)$: $w(t)\le\varepsilon$.



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maria_emf
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Ah stimmt, vielen Dank. Jetzt hats Klick gemacht:)



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