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MalibuRazz
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Dabei seit: 05.04.2019
Mitteilungen: 186
 |  Themenstart: 2021-05-05
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Hallo, ich bins wieder mit einer ähnlichen Frage wie vorhin:
Gegeben sei $f: \Omega_1 \rightarrow \Omega_2$, $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega_1)$ und $f(\mathcal{A}) := \{B \subset \Omega_2 | \exists A \in \mathcal{A}: B = f(A)\}$
Ich habe bereits gezeigt, dass $f(\mathcal{A})$ nicht unbedingt durchschnittsstabil ist, wenn $\mathcal{A}$ durchschnittsstabil ist, da Funktionen ja nicht unbedingt abgeschlossen bezüglich Durchschnitten sind.
Nun sei $\mathcal{A}$ ein Dynkinsystem über $\Omega_1$. Ich weiß ich nicht, ob $f(\mathcal{A})$ dann auch eins über $\Omega_2$ ist, ich glaube nicht, denn dazu müsste $\Omega_2 \in f(\mathcal{A})$ liegen, was ja nicht sein muss, da $f$ nicht unbedingt surjektiv ist, heißt nicht jeder Punkt in $\Omega_2$ muss getroffen werden, oder? Zudem ist $f$ im allgemeinen ja "stabil" bezüglich Vereinigungen (also man kann Vereinigungen ins $f$ "reinziehen"), aber für das Komplement gilt das ja nicht, genauso wenig wie für den Schnitt, oder? Mir fallen leider dazu auch kein konkretes Gegenbeispiel ein... falls meine Überlegung überhaupt stimmt.
Danke für jede Hilfe!
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2575
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-05
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Ohne direkt auf deine Frage mit den Dynkin-Systemen zu antworten so kann man denke ich allgemein sagen, dass zwar die Urbildabbildung mit allen Mengentheoretischen Operationen vertauscht, das Selbe aber für das Bild einer Menge nicht unbedingt gilt. Ist $f\colon A\to B$ eine Abbildung sowie $A_1,A_2\subseteq A$ so kann man allgemein sagen, dass
$$
f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2)
$$
gilt. Hingegen gilt im Allgemeinen nur
$$
f(A_1\cap A_2)\subset f(A_1)\cap f(A_2).
$$
Letzteres sieht man z.B. an folgendem Beispiel: Sei $A=\lbrace 1,2\rbrace$ und $B=\lbrace 1\rbrace$. Weiter sei $f$ die eindeutige Abbildung $A\to B$. Setze nun $A_1:=\lbrace 1\rbrace$ sowie $A_2:=\lbrace 2\rbrace$. Offenbar gilt $A_1\cap A_2=\emptyset$ und damit
$$
f(A_1\cap A_2)=f(\emptyset)=\emptyset,
$$
aber
$$
f(A_1)\cap f(A_2)=\lbrace 1\rbrace \cap \lbrace 1\rbrace = B\neq \emptyset.
$$
LG Nico
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MalibuRazz hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
MalibuRazz hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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