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Universität/Hochschule Verfahrensvorschrift Newton-Verfahren
Max_Br
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-06


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Graphentheorie08
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-06


Ich komme auf folgendes 🤔:

\( f(a) = log(a)\), dann wäre \(f'(a) = \frac{1}{a \cdot ln(10)}   \)

In \( x_{n+1} = x_n-\frac{f(x_n)}{f´(x_n)} \)  dann eingesetzt:
\( x_{n+1} =  x_{n} - \frac{ log( x_{n}) }{\frac{1}{ x_{n} \cdot ln(10)}} = x_{n} - ln(10) \cdot  x_{n} \cdot log( x_{n})    \)

Dabei wäre \( x_{n} \) genau dein \(a\).

Bei dir fehlt dann glaube ich noch ein \( ln(10)  \) (hast wohl ln mit log verwechselt, weil  \( log(10)=1  \)  )





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Max_Br
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-06


Habe ich tatsächlich verwechselt🤔.Danke!

Ist das dann aber auch die richtige Verfahrensvorschrift oder gibt es da eine andere Formel?



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Graphentheorie08
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-06


Für das Newton-Verfahren ist es die richtige Verfahrensvorschrift.
(Generell sollte man beim Newton-Verfahren aufpassen, dass die Funktion auch konvex ist (ist ja notwendig für die Anwendung des Verfahrens), bei log x ist es ja aber gegeben).



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Max_Br
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-06


Top, danke!



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-06



2 Bemerkungen:

1. für log(x) oder ln(x) das Newtonverfahren zur Bestimmung der Nullstellen zu bemühen, ist wohl etwas "Overkill". Die Nullstelle ist trivial.

2. Bei Newtonverfahren mit einer ln(x) Funktion muss man bei der Wahl der ersten Näherung x_0 höllisch aufpassen, dass der erste Schnittpunkt der Tangente nicht im Negativen landet.

Gruss Dietmar  



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Max_Br
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-07


Hallo Dietmar,

log(a) ist wohl wirklich kein gutes Beispiel. Mit dem sin ist es wohl besser gewählt.
Kann man aber auch etwas anderes als die Nullstelle berechnen?
Könnte man beispielsweise eine Verfahrensvorschrift zur Berechnung des vorher erwähnten log(a) aufstellen?

Gruß Max



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Graphentheorie08
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-07


Die Idee vom Newton-Verfahren ist es von einer Stelle \(x_{n}\) im Funktionsgraphen über die  Tangente (die Tangente ist dabei quasi eine ungefähre Abschätzung der Funktion) dieser Stelle \(x_{n}\) zu einer weiteren Stelle  \(x_{n+1}\) zu kommen, die gerade die Nullstelle der Tangente ist und dann näher an der Nullstelle als  \(x_{n}\) ist. Jede dieser Stellen \(x_{n}\) ist ein Folgenglied, sodass es eine (rekursiv beschriebene) Folge gibt, die eben gegen die Nullstelle konvergiert.
Deswegen kann man im Prinzip "nur" Nullstellen berechnen (dabei kann man das natürlich vielseitig einsetzen ).

Für log(a) bräuchte man eben nicht unbedingt ein Verfahren um die Nullstellen zu berechnen,  da für größere a dann  log(a)  immer größer wird (kann man ja einfach sehen/ nachvollziehen/ beweisen).
Es gibt sicher auch noch weitere Verfahren, die in eine ähnliche  Richtung gehen, kann dir aber leider keine nennen.



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Max_Br
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-07


Danke für deine Hilfe!

"Geben Sie die Verfahrensvorschrift für das Newton-Verfahren zur Berechnung des
natürlichen Logarithmus log a, für a ∈ R>0, an."

Das war jetzt meine Aufgabenstellung. Hört sich so an als müsste ich nicht die Nullstelle bestimmen oder lese ich da etwas falsch. Ich denke, dass es da dann doch irgendwie möglich sein muss eine Verfahrensvorschrift zu bestimmen für den log a.

Falls da jemandem etwas einfällt...





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Graphentheorie08
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-07


\( x_{n+1}  = x_{n} - ln(10) \cdot  x_{n} \cdot log( x_{n})    \)

Für kleine \(  x_{n}  \), sodass \( log( x_{n}) < \frac{1}{ln(10)} \) ist, wäre ja  \(  x_{n+1} > 0 \), dann müsste es so funktionieren. Die Verfahrensvorschrift müsste eigentlich so stimmen für eben geeignete \( x_{0} \) als Startwerte.
In der Aufgabe ist aber der natürliche Logarithmus, also der ln bzw \( log_{e}(a) \), gemeint 🤔, deswegen müsste man oben dann immer log durch ln ersetzen



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Graphentheorie08
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-05-07


Wenn es wirklich um den ln geht, würde das \(ln(10)\) auch noch wegfallen (wegen der Ableitung, siehe mein ersten post), fällt mir gerade noch auf.

Insgesamt dann:
\( x_{n+1}  = x_{n} -  x_{n} \cdot ln( x_{n})    \) für \( ln( x_{n})<1 \), also \(0< x_{0}<e \)



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-05-07


Hallo
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Gruß lula


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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Max_Br
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-09


Hallo Lula,

Hast du dann eine andere Idee wie ich da vorgehen kann? Ich soll nämlich eine Verfahrensvorschrift zur Berechnung des nat. log aufstellen.



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dietmar0609
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2021-05-09


Genau das hat Lula dir angegeben:

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