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Universität/Hochschule J Stetigkeit einer Funktion nachweisen
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-06


Guten Abend liebe Community,

bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter:

Sei $M:= \{x = (x_1, x_2) \in \IR^2 \; |\; x_1 > \sqrt{|x_2|}\}$

und $g:= M \to \IR$ mit $g(x):= \frac{x_1}{\|x\|_2}$, wobei $x = (x_1, x_2) \in M$ und $\| \cdot \|_2$ die euklidische Norm auf $\IR^2$ ist.

Die Behauptung ist, dass $g$ in $(0,0)$ stetig fortsetzbar ist.

- - - - - - - - - - - - - - - - -


Nun habe ich zunächst einmal die Folge $(x_n)$ mit $x_n = \left(\left(\frac{1}{n}\right)\right)_{n \in \IN}$ und erhalte
$\lim_{n \to \infty} \left(g(x_n)\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{\left(\frac{1}{n}\right)^2 + 0^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1$.


Nun soll die Stetigkeit im Nullpunkt mittels $\epsilon-\delta$-Kriterium nachgewiesen werden. Sei dazu $\epsilon > 0$ beliebig. Die Wahl von $\delta$ steht noch aus. Für alle $x \in M$ mit $\|x - (0,0)\|_2 = \|x\|_2 < \delta$ folgt

$|g(x) - 1| = \left|\frac{x_1}{\|x\|_2}-1\right| = \left|\frac{x_1 - \|x\|_2}{\|x\|_2}\right|$

Nun weiß ich aber nicht, wie ich weiter abschätzen soll. Auch weiß ich nicht, ob die Wahl der euklidischen Norm $\|x\|_2 < \delta$ zielführend ist, oder ob man lieber eine andere Norm zu Rate zieht.


Ich wäre euch wie immer für jede Antwort sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion


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Ich bin Asperger-Autist. Wenn du mir antwortest, wofür ich mich jetzt schon sehr bedanke, dann beachte bitte den Text im Sektor "meine Geschichte" auf meiner Profilseite, der erklärt, wie du auf meine Besonderheiten Rücksicht nehmen kannst.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-06


Hallo,

deine Folge $(x_n)_n$ ist $(1/n,0)_n$ und nicht $(1/n)_n$

Es gilt $\|x\|\geq x_1$ und somit
\[
|g(x)-1|=\frac{\|x\|-x_1}{\|x\|}<\frac{\|x\|-\sqrt{|x_2|}}{\|x\|}
\] Vielleicht kann man damit etwas anfangen? Ich weiß es nicht.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-06


Hey ochen und Danke für deinen Abschätzungstipp sowie für den Hinweis mit der Folge, das war ein Schreibfehler.
So kriegt man wenigstens die Betragsstriche weg.

Hmm wenn man folgende Abschätzung macht, so raubt man sich zu viel Macht für die Abschätzung.

\[
\frac{\|x\|_2-\sqrt{|x_2|}}{\|x\|_2} \le \frac{\|x\|_2}{\|x\|_2} = 1
\]
Am schönsten wäre es natürlich, wenn $\frac{\|x\|_2-\sqrt{|x_2|}}{\|x\|_2} \le \|x\|_2$ herauskommen würde.

Dies ist genau dann der Fall, wenn $\sqrt{|x_2|} \ge -\|x\|_2(\|x\|_2 - 1)$, denn

\[
\frac{\|x\|_2-\sqrt{|x_2|}}{\|x\|_2} \le \|x\|_2
\iff \|x\|_2 - \sqrt{|x_2|} \le \|x\|_2^2
\iff \|x\|_2(\|x\|_2 - 1) \ge -\sqrt{|x_2|}
\iff \sqrt{|x_2|} \ge - \|x\|_2(\|x\|_2 - 1)
\]
Ist das in irgendeiner Weise zielführend?

Viele Grüße,
X3nion


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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-07


Hallo zusammen,

mir raucht so langsam der Kopf 😁 hat jemand von euch eine Idee, wie die Abschätzung zur $\epsilon-\delta$-Stetigkeit gelingen könnte, dass man

$|g(x) - 1| = \left|\frac{x_1}{\|x\|_2}-1\right| = ... < \epsilon$

für $g: M \to \IR, \; x \mapsto \frac{x_1}{\|x\|_2}$, wobei

$M:= \{x = (x_1, x_2) \in \IR^2 \; |\; x_1 > \sqrt{|x_2|}\}$

abschätzt?

ochen hatte die Idee, dass $\|x\|_2 \ge x_1$ und ferner $x_1 > \sqrt{|x_2|}$ und damit

$|g(x)-1|=\frac{\|x\|_2-x_1}{\|x\|_2}<\frac{\|x\|_2-\sqrt{|x_2|}}{\|x\|_2}
$.


Wie könnte man weiter abschätzen, um dies kleiner $\epsilon$ für $\|x\| < \delta$ bzw. eventuell auch $\|x\|_2 < \delta$ ist?


Ich wäre euch für jede Hilfe sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion



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