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Mathematik » Stochastik und Statistik » Unkorrelierte Zufallsvariablen
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Universität/Hochschule J Unkorrelierte Zufallsvariablen
xitsokx
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  Themenstart: 2021-05-06

\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \) Hallo, Könnt ihr mir helfen bei der Aufgabe? Sei $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine Folge unkorrelierter Zufallsvariablen mit $\mathbb{P}(X_n = 1) = \mathbb{P}(X_n = -1) = \frac{1}{2}$ für alle $n \in \mathbb{N}$. Definiere $Y_n := \frac{1}{n} \sum^n_{k=1} X_k$ für alle $n \in \mathbb{N}$. Für welche $p \in [1, \infty)$ konvergiert $(Y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ in $L^p$ gegen Null? Berechne zunächst $\mathbb{E}[Y^2_n]$ für alle $n \in \mathbb{N}$. Wie gehe ich da vor? Vielen Dank. LG\(\endgroup\)


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sonnenschein96
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-06

Hallo xitsokx, es gilt ja \(Y_n^2=\frac{1}{n^2}\sum_{i,j=1}^nX_iX_j\). Du könntest also erstmal \(\mathbb{E}[X_i]\) und \(\mathbb{E}[X_iX_j]\) für \(i,j\in\mathbb{N}\) berechnen. Dabei kannst Du ausnutzen, dass für \(i\neq j\) wegen der Unkorreliertheit gilt, dass \(\mathbb{E}[X_iX_j]=\mathbb{E}[X_i]\mathbb{E}[X_j]\). So kannst Du dann schonmal \(\mathbb{E}[Y_n^2]\) bestimmen.


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xitsokx
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-07

\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \) Hallo sonnenschein96, Vielen Dank für die schnelle Antwort. Wenn ich das nun einsetze bekomme ich folgendes raus. $\mathbb{E}[Y^2_n]$ = $\mathbb{E}[\frac{1}{n^2} \sum^n_{i,j=1} X_i X_j] = \frac{1}{n^2} \sum^n_{i,j=1} \mathbb{E}[ X_i X_j] = \frac{1}{n^2} \sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1} \mathbb{E}[ X_i X_j] = \frac{1}{n^2} n * n \mathbb{E}[ X_i ] \mathbb{E} [X_j] = \mathbb{E}[ X_i ] \mathbb{E} [X_j] $ für alle $i \neq j$. Und wie gehe ich nun weiter? LG\(\endgroup\)


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sonnenschein96
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-07

\quoteon(2021-05-07 14:49 - xitsokx in Beitrag No. 2) $\mathbb{E}[Y^2_n]$ = $\mathbb{E}[\frac{1}{n^2} \sum^n_{i,j=1} X_i X_j] = \frac{1}{n^2} \sum^n_{i,j=1} \mathbb{E}[ X_i X_j] = \frac{1}{n^2} \sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1} \mathbb{E}[ X_i X_j] = ...$ \quoteoff Das stimmt noch, der Rest danach aber nicht. Du kannst die Summe so nicht auflösen, dort kommen ja auch Summanden mit \(i=j\) vor. Du musst also die Fälle \(i\neq j\) und \(i=j\) unterscheiden. Für \(i=j\) ist \(\mathbb{E}[X_iX_j]=\mathbb{E}[X_i^2]\). Du musst also als nächstes \(\mathbb{E}[X_i]\) und \(\mathbb{E}[X_i^2]\) berechnen, was Dir aber nicht schwer fallen sollte, da Du die Verteilung der \(X_i\) ja konkret gegeben hast.


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xitsokx
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10

Und wie berechne ich das?


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luis52
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-10

\quoteon(2021-05-10 11:46 - xitsokx in Beitrag No. 4) Und wie berechne ich das? \quoteoff Moin, es gilt die alte Bauernregel $\mathbb{Cov}[X_i,X_j]=\mathbb{E}[X_iX_j]-\mathbb{E}[X_i]\cdot\mathbb{E}[X_j]$ ... vg Luis


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xitsokx
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10

\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \) Hallo luis52, Wegen der Unkorreliertheit ist doch $\mathbb{Cov} [X_i, X_j] =0 $ oder? Gilt wegen der allgemeinen Formel $\mathbb{E} [X^2_n] = \sum^\infty_{i=1} x^2_i \mathbb{P} (X_n = x_i) $ dass dann $\mathbb{E} [X^2_n] = \frac{1}{2}$ ? LG\(\endgroup\)


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luis52
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-10

\quoteon(2021-05-10 12:07 - xitsokx in Beitrag No. 6) Wegen der Unkorreliertheit ist doch $\mathbb{Cov} [X_i, X_j] =0 $ oder? \quoteoff Ja. \quoteon(2021-05-10 12:07 - xitsokx in Beitrag No. 6) Gilt wegen der allgemeinen Formel $\mathbb{E} [X^2_n] = \sum^\infty_{i=1} x^2_i \mathbb{P} (X_n = x_i) $ dass dann $\mathbb{E} [X^2_n] = \frac{1}{2}$ ? \quoteoff Verstehe ich nicht. Ich denke, du willst $\mathbb{E}[Y_n^2]$ bestimmen. Versuch nochmal $\mathbb{E}[Y_n^2]=\mathbb{E}[\frac{1}{n^2} \sum^n_{i,j=1} X_i X_j]=\frac{1}{n^2} \sum^n_{i=1}\mathbb{E}[ X_i^2]+\frac{1}{n^2}\sum_{i\ne j}\mathbb{E}[X_i X_j]$ aufzudroeseln.


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xitsokx
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10

\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \) Also ich weiß $\mathbb{E}[X_i] = 1 \cdot (\frac{1}{2}) + (-1) \cdot (\frac{1}{2}) = 0$ und $\mathbb{E}[X^2_i] = 1^2 \cdot (\frac{1}{2}) + (-1)^2 \cdot (\frac{1}{2}) = 1$ Also folgt: $\mathbb{E}[Y^2_n] = \frac{1}{n^2} \sum^n_{i=1} \mathbb{E}[X^2_i] + \frac{1}{n^2} \sum^n_{i \neq j} \mathbb{E}[X_i] \mathbb{E}[X_j] = \frac{1}{n}$ Wie kann ich das nun anwenden?\(\endgroup\)


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luis52
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-10

\quoteon(2021-05-10 13:09 - xitsokx in Beitrag No. 8) Wie kann ich das nun anwenden? \quoteoff Hi xitsokx, ein bisschen mehr Eigenleistung erwarten wir hier schon von dir. Wann konvergiert denn $(Y_n)_{n\in\IN}$ in $L^p$ gegen Null? vg Luis


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xitsokx
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10

\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \) \quoteon(2021-05-10 14:57 - luis52 in Beitrag No. 9) Wann konvergiert denn $(Y_n)_{n\in\IN}$ in $L^p$ gegen Null? \quoteoff Die Konvergenz von $Y_n$ gegen 0 würde bedeuten $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E} ( |Y_n - 0|^p) = \mathbb{E} |Y_n |^p = 0 $ Da $ \mathbb{E} |Y_n |^2 = \mathbb{E} [Y^2_n] $ gilt das schonmal für $p =2$. \(\endgroup\)


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luis52
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Siehe mal hier. vg Luis


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sonnenschein96
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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-05-12

Für \(1\leq p\leq2\) folgt aus der Hölderschen Ungleichung, dass \(\mathbb{E}[|Y_n|^p]\leq\mathbb{E}[|Y_n|^2]^{\frac{p}{2}}\). Für \(2\leq p<\infty\) ist \(|Y_n|^p=|Y_n|^2|Y_n|^{p-2}\leq|Y_n|^2\), da \(|Y_n|\leq1\) (\(\mathbb{P}\)-f.ü.). Zusatzfrage: Was ist mit \(p=\infty\)?


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xitsokx
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-12

\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \) Vielen Dank sonnenschein96, das habe ich auch bis dahin. :) Für $p = \infty$ habe ich mir auch Gedanken gemacht und werde das meinen Dozenten fragen. \(\endgroup\)


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sonnenschein96
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  Beitrag No.14, eingetragen 2021-05-12

Der Vollständigkeit halber hier der Fall \(p=\infty\), ich hoffe der Dozent sagt Dir das gleiche :P \hideon Wegen \(|Y_n|\leq1\) (\(\mathbb{P}\)-f.ü.) und \(\mathbb{P}(|Y_n|=1)=\frac{1}{2^{n-1}}>0\) (zumindest für unabhängige \(X_i\)) gilt \(\|Y_n\|_\infty=1\), also kann \((Y_n)\) in \(L^\infty\) nicht gegen \(0\) gehen. Tatsächlich kann es auch kein anderes \(Y\in L^\infty\) mit \(Y_n\to Y\) in \(L^\infty\) geben: Daraus würde nämlich \(Y_n\to Y\) in \(L^p\) für \(1\leq p <\infty\) folgen und da wir wissen, dass \(Y_n\to0\) in \(L^p\), folgt aus der Eindeutigkeit des Grenzwertes, dass \(Y=0\) sein müsste. \hideoff


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xitsokx
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-12

Wow super, vielen vielen Dank!! :))


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