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Universität/Hochschule J Differenzierbarkeit und Richtungsableitung
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-06


Guten Abend zusammen,

folgende Differenzierbarkeitsaufgabe beschäftigt mich gerade:

Sei $f: \IR^2 \to \IR$ mit

\[
f(x) = \begin{cases} \frac{x_1^3}{x_1^2+x_2^2}, & \text{ für } x = (x_1, x_2) \in \IR^2 \backslash \{(0,0)\} \\
0, & \text{ für } x = (0,0) \end{cases}
\]

a) Es soll gezeigt werden, dass $f$ im Punkt (0,0) für jedes $v \in \IR^2$ mit $\|v\|_2 = 1$ in Richtung $v$ differenzierbar ist und die Richtungsableitung $D_vf(0,0)$ bestimmt werden.

b) Ferner soll gezeigt werden, dass sich die Abbildung $v \mapsto D_vf(0,0)$ mit $\|v\|_2 = 1$ nicht zu einer linearen Abbildung auf ganz $\IR^2$ fortsetzen lässt.

- - - - - - - - - - - - - - - -

Nun denn, für a) ist ja $\lim_{t \to 0} \frac{f(x+tv) - f(x)}{t}$ für $x = (0,0)$ zu bestimmen. Sei $v = (v_1, v_2)$. Dann ist:

$\lim_{t \to 0} \frac{\frac{t^3v_1^3}{t^2v_1^2 + t^2v_2^2} - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{tv_1^3}{v_1^2 + v_2^2}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{v_1^3}{v_1^2 + v_2^2} = \frac{v_1^3}{v_1^2 + v_2^2}$.

Ist dann $D_vf(0,0) = \frac{v_1^3}{v_1^2 + v_2^2}$ ?


Für b) wie habe ich das zu verstehen, dass sich die Abbildung nicht zu einer linearen Abbildung auf ganz $\IR^2$ fortsetzen lässt?

Wie immer danke ich euch sehr für jede Hilfe!


Viele Grüße,
X3nion


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-06


Zu a) Du weißt ja, dass $\lVert v \rVert = 1$ gilt. Damit kannst du den Ausdruck der Richtungsableitung vereinfachen.

Zu b) Das bedeutet, dass es keine lineare Abbildung $L\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R$ mit $L|_{S^1}=g$ gibt, wobei $g\colon S^1 \to \mathbb R, \ v\mapsto D_vf(0,0)$ und $S^1$ die Einheitssphäre in $\mathbb R^2$.

LG Nico



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-07


Hey Nico und Danke dir für deine Tipps!

Ist es dann so, dass die Abbildung $g: v \to D_vf(0,0) = v_1^2$ nicht linear sein kann, da salopp gesprochen der Term quadratisch ist, und es deshalb keine lineare Abbildung $L: \IR^2 \to \IR$ mit $L_{S^{1}} = g$ geben kann, da man immer mindestens zwei Punkte aus dem Definitionsbereich findet, sodass $L(\lambda \; v) = (\lambda \; v_1)^2 = \lambda^2 \; v_1^2$ ist, aber $\lambda \; L(v) = \lambda \; v_1 \neq L(\lambda \; v)$ ist?

Viele Grüße,
X3nion


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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-07


Du hattest ja ausgerechnet, dass $D_vf(0,0)=v_1^3$ ist. Angenommen $L\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R$ wäre eine lineare Fortsetzung von $g$. Sei nun $(e_1,e_2)$ die kanonische Basis von $\mathbb R^2$. Dann ist
$$ L(e_1)=1, \qquad L(e_2)=0.
$$ Folglich gilt für alle $v\in \mathbb R^2$, dass
$$ L(v)=L(\lambda_1e_1+\lambda_2e_2)=\lambda_1 L(e_1)+\lambda_2 L(e_2)=\lambda_1.
$$ Beachte nun, dass damit folgt, dass
$$ L\left(\frac{1}{\sqrt 2},\frac{1}{\sqrt 2}\right)=\frac{1}{\sqrt 2}.
$$ Aber $(\frac{1}{\sqrt 2})^3\neq \frac{1}{\sqrt 2}$. Da aber $(\frac{1}{\sqrt 2},\frac{1}{\sqrt 2})\in S^1$ erhalten wir einen Widerspruch dazu, dass $L$ eine lineare Fortsetzung von $g$ ist.

Wie du richtig erkannt hast liegt das genau daran, dass wir eine Variable in dritter Potenz haben. Das kann natürlich nicht linear sein.

LG Nico



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-07


Hey Nico,

Danke für die Erläuterungen, ja das gibt natürlich Sinn!

Dann gab es noch eine Teilaufgabe, zu überprüfen, ob $f$ in (0,0) total differenzierbar ist oder nicht. Ich tippe auf nein. Denn dazu müssten die partiellen Ableitungen im Nullpunkt stetig sein.

Es ist $D_2f(x_1,x_2) = \frac{-2x_2x_1^3}{(x_1^2+x_2^2)^2}$.

Diese Ableitung ist unstetig im Nullpunkt.

Betrachte dazu etwa die Folge $x_n = \left(\frac{1}{n},0\right)$. Damit gilt:
$D_2f(x_n) = \frac{-2 \cdot 0 \cdot\frac{1}{n^3}}{\frac{1}{n^2}} = 0$ und somit auch $\lim_{n \to \infty} D_2f(x_n) = 0$

Andererseits gilt mit der Folge $y_n = \left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$:
$D_2f(y_n) = \frac{-2 \cdot \frac{1}{n} \cdot\frac{1}{n^3}}{\frac{4}{n^4}} = \frac{\frac{-2}{n^4}}{\frac{4}{n^4}} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ und damit
$\lim_{n \to \infty} D_2f(y_n) = -\frac{1}{2} \neq 0$. Somit ist $D_2f(x_1,x_2)$ unstetig im Nullpunkt, womit folgt, dass $f$ im Nullpunkt nicht total differenzierbar ist.


Würde das so passen?

Viele Grüße,
X3nion


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-07


Hallo,

das stimmt tatsächlich nicht. Also die Stetigkeit der partiellen Ableitungen ist lediglich hinreichend, aber nicht notwendig für die Differenzierbarkeit! Betrachte zum Beispiel die Funktion
$$ f\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R, \ f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right), & (x,y)\neq (0,0) \\
0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}
$$ Dann ist $f$ in $(0,0)$ total differenzierbar, aber die partiellen Ableitungen sind dort nicht stetig. Im Allgemeinen hat man die Implikationen
$$ \text{stetig partiell differenzierbar } \Longrightarrow \text{ total differenzierbar } \Longrightarrow \text{ partiell differenzierbar }
$$ aber eben keine einzige der Umkehrungen davon.

Nun kannst du aber schön die Teilaufgabe b) dafür benutzen! Angenommen $f$ wäre in $(0,0)$ total differenzierbar. Dann gibt es eine lineare Abbildung $Df(0,0)\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R$ derart, dass
$$ f((0,0)+h)=f(0,0)+Df(0,0)h+\varphi(h)
$$ mit $\varphi(h) = o(\lVert h \rVert)$ für $h\to 0$. Was wissen wir nun über $D_vf(0,0)$?

LG Nico



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-07


Hey Nico,

ja das hast du Recht - Danke für das Gegenbeispiel!

Hmm dann gibt es eine lineare Abbildung $Df(0,0)\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R$ dergestalt, dass
 
$$ f((0,0)+h)=f(0,0)+Df(0,0)h+\varphi(h)
$$ mit $\varphi(h) = o(\lVert h \rVert)$ für $h\to 0$.

Wir wissen, dass $D_vf(0,0) = v_1^3$ nicht linear auf ganz $\IR^2$ fortgesetzt werden kann. Aber ich sehe den Zusammenhang zwischen $D_vf(0,0)$ und $Df(0,0)$ nicht, denn die per Definition existierende lineare Abbildung $Df(0,0)$ muss doch nichts mit $D_vf(0,0)$ zu tun haben?

Viele Grüße,
X3nion


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-07


Hey,

überlege dir, dass wenn $f$ total differenzierbar in $(0,0)$ ist, dass dann für $v\in S^1$ gilt
$$ D_vf(0,0)=Df(0,0)v.
$$
LG Nico



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-07


Hey Nico,

hmm ich komme gerade nicht drauf, wieso die Gleichheit gilt.

Es ist ja $Df(0,0) = f'(0)$ und $f'(0)$ ist gerade der Gradient an der Stelle $(0,0)$.

Es ist also $Df(0,0) = (D_1f(0,0), D_2f(0,0))$ und

$(D_1f(0,0), D_2f(0,0)) \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = D_1f(0,0)v_1 + D_2f(0,0)v_2$

Wieso ist nun aber $D_1f(0,0)v_1 + D_2f(0,0)v_2 = D_vf(0,0)$?


Viele Grüße,
X3nion


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-07


Es sei $U\subseteq \mathbb R^n$ offen und $f\colon U\to \mathbb R$ in $x\in U$ total differenzierbar. Dann gibt es eine $1\times n$-Matrix $A=(a_i)_{1\leq i \leq n}$ derart, dass
$$ f(x+h)=f(x)+Ah+o(\lVert h \rVert).
$$ Sei nun $v\in S^{n-1}$ und setze $h:=tv$ mit $t\in \mathbb R$ derart, dass $x+tv\in U$ gilt. Dann haben wir also
$$ f(x+tv)=f(x)+t\sum_{i=1}^n a_iv_i +o(|t|).
$$ Also folgt
$$ \lim_{t\to 0} \frac{f(x+tv)-f(x)}{t}=\sum_{i=1}^n a_iv_i.
$$ Die Matrix $A$ ist ja nichts anderes als das Differential von $f$ in $x$. Also haben wir
$$ D_vf(x)=\lim_{t\to 0} \frac{f(x+tv)-f(x)}{t}=\sum_{i=1}^n a_iv_i=Av=Df(x)v.
$$
LG Nico



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-07


Hey Nico,

ahh okay, dachte mir schon, dass man da am besten mit dem Grenzwert argumentiert.. Dankeschön!

Dann erhält man den Widerspruch also dadurch, dass angenommen wurde, dass $Df(0,0)$ eine lineare Abbildung ist, aber wenn man $h:= v \to 0$ betrachtet, dann haben wir in der Definition der Differenzierbarkeit

$$ \lim_{v \to 0} f((0,0)+v)=f(0,0)+Df(0,0)v+\varphi(h),
$$
mit einer linearen Abbildung $Df(0,0)\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R$ und $\varphi(h) = o(\lVert h \rVert)$ für $h\to 0$,

aber aufgrund $Df(0,0) \cdot v = D_vf(0,0)$ kann $Df(0,0)$ nicht linear sein?

Viele Grüße,
X3nion



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2021-05-07


Das Argument wäre dann genau so. Man hätte eine lineare Abbildung $L\colon \mathbb R^2\to\mathbb R$, die eingeschränkt auf $S^1$ mit $g$ übereinstimmt. ($g$ wie oben).

Bei b) haben wir aber gezeigt, dass das nicht sein kann, also kann $f$ auch nicht total differenzierbar sein in $(0,0)$.

LG Nico



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2021-05-07


2021-05-07 16:20 - X3nion in Beitrag No. 10 schreibt:
Hey Nico,

ahh okay, dachte mir schon, dass man da am besten mit dem Grenzwert argumentiert.. Dankeschön!

Dann erhält man den Widerspruch also dadurch, dass angenommen wurde, dass $Df(0,0)$ eine lineare Abbildung ist, aber wenn man $h:= v \to 0$ betrachtet, dann haben wir in der Definition der Differenzierbarkeit

$$ \lim_{v \to 0} f((0,0)+v)=f(0,0)+Df(0,0)v+\varphi(h),
$$
mit einer linearen Abbildung $Df(0,0)\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R$ und $\varphi(h) = o(\lVert h \rVert)$ für $h\to 0$,

aber aufgrund $Df(0,0) \cdot v = D_vf(0,0)$ kann $Df(0,0)$ nicht linear sein?

Viele Grüße,
X3nion


Wir betrachten aber nicht $v\to 0$, $v$ ist ja ein Einheitsvektor. Wir betrachten $t\to 0$ :)



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X3nion
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Ahh dann also für $h:= vt$ mit einem $t$ derart, dass $vt \in U$
$$\lim_{t \to 0} f((0,0)+vt)=f(0,0)+Df(0,0)vt+\varphi(vt)?
$$
und selbigem Widerspruch?


Und kann man es salopp so sagen, dass - wenn wir eine Richtung gefunden haben, für welche $f$ nicht differenzierbar ist - dass dann $f$ auch nicht total differenzierbar ist? :)

Viele Grüße,
X3nion



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2021-05-07


Ja das kann man auch nicht salopp so sagen. Mein obiger Beweis zeigt ja, dass totale Differenzierbarkeit insbesondere die Existenz aller Richtungsableitungen nach sich zieht.

Die Existenz aller Richtungsableitungen ist also eine notwendige (aber keine hinreichende) Bedingung für die totale Differenzierbarkeit.

Aber in deiner konkreten Aufgabe existieren ja alle Richtungsableitungen.

LG Nico



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X3nion
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Hey Nico,
Danke dir, du hast mir sehr geholfen! Einen schönen Sonnabend noch :)

Viele Grüße,
X3nion


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Gerne und dito :)

LG Nico



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