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Strukturen und Algebra » Ringe » Ganzheit von Elementen
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Universität/Hochschule Ganzheit von Elementen
dogemagni
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  Themenstart: 2021-05-09

Hallo zusammen :) Ich bin gerade dabei zu bestimmen, ob Ringerweiterungen ganz sind. Nun habe ich z.B. \(\mathbb{Z}[1/2,\sqrt{13}]\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{13}]\) und meine Vermutung ist, dass die Erweiterung nicht ganz ist. Ich hatte nun vor zu zeigen, dass 1/3 nicht ganz über \(\mathbb{Z}[1/2,\sqrt{13}]\) ist. Bei den anderen Erweiterungen habe ich dann z.B. argumentiert, dass das Minimalpolynom (Hier ja \(X-1/3\)) das Polynom teilen muss, für welches die Ganzheitsgleichung gilt. Und dann über die Koeffizienten versucht einen Widerspruch zu konstruieren. Meine Frage ist jetzt, ob es für solche Beweise elegante Techniken gibt. Oder auch gerne generelle Tipps, denn es kam mir doch sehr umständlich und unschön vor, wie ich es nun gelöst habe x) Gruß dog


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-09

Wenn diese Erweiterung ganz wäre, dann wäre auch die Komposition $\IZ[1/2] \to \IZ[1/3,\sqrt{13}] \to \IQ[\sqrt{13}]$ ganz. Hierbei ist $\IQ[\sqrt{13}]$ ein Körper. Benutze/Beweise nun das Lemma. Wenn $R \to S$ ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus ist und $S$ ein Körper ist, dann ist auch ein $R$ ein Körper.


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dogemagni
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Mitteilungen: 23
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-09

Hallo, Triceratops - und danke schon mal für die Antwort :) Einen ganzen Ringhomomorphismus haben wir noch nicht eingeführt, aber ich habe mal nachgeschaut, was das ist. Ich habe jetzt gleich mehrere Fragen. Wie genau meinst du das mit der Komposition? Könntest du das etwas mehr ausführen? Und ginge mit deinem Lemma nicht folgendes: Angenommen, \(R=\mathbb{Z}[1/2,\sqrt{13}]\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{13}]=\mathbb{Q}(\sqrt{13})=S\) ist ganz. Dann nutze ich dein Lemma: \(incl: R\to S\) ist ein ganzer Ringmonomorphismus. Da \(S\) ein Körper ist, muss nach dem Lemma auch \(R\) ein Körper sein. Widerspruch. Gruß dog


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