Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel
Mathematik » Stochastik und Statistik » Randverteilung, multivariate Dichte
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Randverteilung, multivariate Dichte
Majazakava
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.06.2020
Mitteilungen: 99
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-09


Hi,

ich habe Fragen zur folgenden Aufgabe:

Wahrscheinlichkeitsraum: \(\Omega, \mathcal{A}, P\)
Zweidimensionaler Zufallsvektor: \((X,Y):\Omega \to \IR^2\)
Multivariate Dichte: \(f:\IR^2 \to \IR, \ f(x,y):=C*1_{\{(u,v) \in \IR^2 | 0\le u \le 1, u \le v \le u+1\}} \ \ (x,y)\)

a) Bestimme die Konstante \(C\) so, dass \(f\) eine Dichte ist.
b) Bestimme die Randverteilung \(P_X\) und \(P_Y\) bzw. deren Dichten.


Bei der a) war ich mir nicht ganz sicher, ob das der richte Ansatz ist:
\[\iint_{\IR} f(x,y)\,dxdy \stackrel{!}{=} 1 \\
\Leftrightarrow \iint_{\IR} C*1_{\{(u,v) \in \IR^2 | 0 \le u \le 1, u \le v \le u+1\}}\, \ \ dxdy \stackrel{!}{=} 1 \\

\Leftrightarrow C*\int_{0}^{1} \int_{u}^{u+1} 1 \,dydx \ = \
 C*\int_{0}^{1} [y]_{u}^{u+1} \,dx \ = \
C*\int_{0}^{1} 1 \,dx \ = \
C*[x]_{0}^{1} \ = \
C*1 \stackrel{!}{=} 1
\] Ich bin mir nicht ganz sicher, ob das richtigen Integralgrenzen sind.


Bei der b) weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll. Ich hab mit der Randverteilung \(P_X\) angefangen. Um die Randdichte zu bekommen, muss man hier \(y\) über \(\IR\) integrieren.
Aber irgendwie, komme ich auf das gleiche Ergebnis, wie bei der a), weil ich durch die Indikatorfunktion, nicht mehr über ganz \(\IR\) integriere, sondern über die gleichen Grenzen, wie bei der a). Es macht für mich nicht Sinn, dass ich da das gleiche rausbekomme.

Habe ich hier Denkfehler?

Danke im Voraus
LG Majazakava




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
luis52
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 540
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-09


Moin, a) hast du korrekt geloest, wenngleich mit einer kleinen Unwucht:

$\iint_{\IR} C*1_{\{(u,v) \in \IR^2 | 0 \le u \le 1, u \le v \le u+1\}}\color{red}{(x,y)}\, \ \ dx\,dy $

Bei b) rate ich dir, zeichne mal die Menge $\{(x,y)\mid f(x,y)>0\}\subset\IR^2$. Da kannst du ablesen, wie du jeweils integrieren musst.

vg Luis



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
schlauuu
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.04.2021
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-09


Hi,
bei b) hast als Grenze den ganzen Bereich hergenommen, dann bekommst du natürlich die Wkeit 1. Setze x bzw y als Grenze ein



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Majazakava
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.06.2020
Mitteilungen: 99
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10


Hi,

ich habe Eure Tipps versucht zu benutzen, aber bin immer noch nicht ganz sicher, ob ich es richtig verstanden habe.

Ich habe die Integralgrenzen jetzt so gewählt: \(\int_{0}^{1}\int _{u}^{x}1\,dydx = ... = \frac{1}{2}-u\)
und
\(\int_{u}^{u+1}\int_{0}^{y}1\,dxdy = ... = \frac{1}{2}+u\) (oder muss es \(\int_{u}^{u+1}\int_{y}^{1}1\,dxdy =...=\frac{1}{2}-u\) sein?)

Erst dachte ich, dass ich nur einmal integrieren müsste, aber wie würde das formal dann bei \(\iint_{\IR}f(x,y)\,dxdy\) aussehen? Wär es \(\int _{u}^{x}1\,dy\) und \(\int_{0}^{y}1\,dx\)? Wobei ich mir bei den Grenzen gar nicht so sicher bin.

LG
Majazakava



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
schlauuu
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.04.2021
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-10


Hi,
nein das stimmt so nicht, mein Tipp war wohl auch etwas irreführend.
Du musst zuerst die Randdichte berechnen, dass wolltest du auch schon anfangs machen aber hast wahrscheinlich die falschen Grenzen hergenommen.
Zeichne das Integrationsgebiet (es ist zwischen der Funktion y=x und y=x+1)
und nehm die Grenzen her für ein Integral musst du den Fall y <= 1 und y > 1 unterscheiden.
Dann kannst du wie ich meinte die anderen Grenzen einsetzen für die Verteilung



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Majazakava
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.06.2020
Mitteilungen: 99
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-13


Hi,

ich habe jetzt auch noch einen anderen Tipp bekommen.

Ich soll die Funktion nach einer Variable komplett ableiten und erhalte dann die Dichte von der jeweils anderen Variable.

\(P_Y= \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dx =...=\int_{0}^{1}1_{[x,x+1]}(y)dx =...=1_{[x,x+1]}(y)\) und
\(P_X= \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy =...=\int_{x}^{x+1}1_{[0,1]}(x)dy=...=1_{[0,1]}(x)\)

Bei dem ersten bin ich mir aber nicht sicher, wie ich da weiter machen soll, da sind ja immer noch beide Variable drin. Ich wollte hier erstmal den Hinweis von Dir anwenden, aber komm nicht drauf wie.

LG
Majazakava



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
luis52
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 540
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-13




So schoen das Arbeiten mit der Indikatorfunktion auch ist, manchmal kann
sie auch laestig sein. In a) hat du $C=1$ bestimmt. Damit ist

$f(x,y)=1_{\{(u,v) \in \IR^2 | 0 \le u \le 1, u \le v \le u+1\}}(x,y) =
\begin{cases}
        1,& \text{$0\le x\le 1$, $x\le y\le x+1$;}    \\
        0,& \text{sonst.}
\end{cases}
$      

Konzentrieren wir uns auf die Randverteilung von $X$, genauer, auf ihre Dichte $f_x$. Mit der obigen Schreibweise ist klar, dass gilt $f_x(x)=0$ fuer $x\notin[0,1]$. Fuer $x\in[0,1]$ ist

$f_x(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dy=\int_{x}^{x+1}\,dy=\ldots$  

Noch einmal, mach dir eine Skizze! Der wirst du entnehmen, dass zur Bestimmung von $f_y$ eine Fallunterscheidung getroffen werden muss. Uebrigens, ob und welche Funktion abzuleiten ist, ist mir schleierhaft.

vg Luis  



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Majazakava hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]