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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Rang einer (einfachen) Matrix bestimmen
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Kein bestimmter Bereich Rang einer (einfachen) Matrix bestimmen
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2021-05-10

Hi, unsere Dozentin meinte in der VL, dass die Matrix $$1_{N\times N} - \frac{1}{N}ee^{T}$$ Rang $1$ habe. Würdet Ihr dem zustimmen? Ich komme nämlich darauf, dass die Matrix Rang $N$ hat.. Dabei hat sie $e := \left( 1, \dots, 1 \right)^{T} \in \mathbb R^{N}$ eingeführt. Beste Grüße, $\mathcal R$onald


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DominikS
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-10

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Nuramon
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-10

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, die Matrix hat weder Rang 1 noch Rang $N$. Versuche doch mal den Kern der Matrix zu berechnen. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! Wenn ich das richtig verstehe, also dass die hintere Matrix das dyadische Produkt zweier Vektoren ist, die nur mit Einsen belegt sind und das vordere ist die Einheitsmatrix: dann stimmt weder das eine, noch das andere. Du bist mit deiner Vermutung aber deutlich näher dran... @DominikS: \quoteon(2021-05-10 13:43 - DominikS in Beitrag No. 1) Ansonsten ist $ee^T$ hier doch einfach eine reelle Zahl. Es gilt sogar $\frac{1}{N}ee^T=1$. (Warum?) Deshalb macht die Frage irgendwie nicht soviel Sinn, weil dann eine reelle Zahl von einer $(N\times N)$-Matrix subtrahierst, und das kannst du nur tun, wenn $N=1$. Indem Fall kommt aber einfach Null raus. Und der Rang einer Matrix ist ja die Anzahl der Zeilen, die nicht null sind. \quoteoff Achtung: \(e\) ist ja selbst schon ein Spaltenvektor. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)


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Nuramon
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-10

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) @DominikS: Du verwechselst $ee^T$ mit $e^Te$. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]\(\endgroup\)


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10

Also @Diophant und @Nuramon haben Recht, dass wir eine $N\times N$-Matrix haben. Hmm, sie hat das sogar auf ihren Folien, das ist sehr komisch.. Also der Kern der Matrix ist ja durch die kanonische Basis $e_{i} := \left( 1, 0, \dots, 0 \right)^{T}$ gegeben. $\mathcal R$onald


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DominikS
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-10

\quoteon(2021-05-10 13:45 - Nuramon in Beitrag No. 4) @DominikS: Du verwechselst $ee^T$ mit $e^Te$. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.] \quoteoff Ah, da habe ich nicht richtig hingesehen, und $e$ als Zeilenvektor gelesen... [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2021-05-10 13:50 - Ronald in Beitrag No. 5) Hmm, sie hat das sogar auf ihren Folien, das ist sehr komisch.. Also der Kern der Matrix ist ja durch die kanonische Basis $e_{i} := \left( 1, 0, \dots, 0 \right)^{T}$ gegeben. \quoteoff Nein, da liegst du beim Kern falsch. Rechne ihn einmal selbst nach, wie Nuramon geraten hat. Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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