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Universität/Hochschule J Triviale Ideale
gruebl
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-12


Ich habe eine Frage zu den Idealen eines Körpers.
Bekanntlich gibt es die Ideale I=0 und I=K.
Nun möchte ich das Beweisen, dass jeder Körper nur diese Ideale hat.

Mein Ansatz:
fed-Code einblenden



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-12


Für das Null-Ideal: Es reicht nicht, was Du geschrieben hast. Wiederhole die Definition eines Ideals!



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gruebl
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-12


2021-05-12 10:48 - helmetzer in Beitrag No. 1 schreibt:
Für das Null-Ideal: Es reicht nicht, was Du geschrieben hast. Wiederhole die Definition eines Ideals!

Was muss ich noch beachten? Ich habe die Def. vor mir liegen.



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Riemannifold
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-12


Ich verstehe deinen Ansatz nicht. Du willst doch nicht zeigen, dass $0$ ein Ideal ist, das ist ja bekannt, wie du selbst sagst. Du möchtest zeigen, dass es keine Ideal außer $0$ und $K$ gibt. Ich würde da folgendermaßen rangehen:

Sei $I\subset K$ ein Ideal und nicht das Nullideal. Dann gibt es also ein $x\in I$ mit $x\neq 0$. Das Inverse von $x$ existiert und somit ist (nach Definition des Ideals) auch $x^{-1}x = 1\in I$.
Dann sind wir aber fertig, denn wenn $1\in I$, dann ist auch $y\cdot 1 = y\in I$ für jedes $y\in K$. Es folgt $I = K$.

Liebe Grüße



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Du willst doch nicht beweisen, dass $0$ und $K$ Ideale sind, sondern, dass ein Körper nur diese Ideale hat, was bedeutet: Wenn $I \subseteq K$ ein Ideal ist, ist $I=0$ oder $I=K$.
Ein Tipp dafür: Beweise zunächst folgendes Lemma:
Lemma 0. Sei $R$ ein Ring und $I\subseteq R$ ein Ideal. Falls nun $1 \in I$, folgt $R \subseteq I$.

Deine Aussage folgt dann ganz einfach aus einer Anwendung dieses Lemmas, der Körperdefinition und einer Anwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten (jedoch nicht auf die Frage, ob $1 \in I$, sondern auf eine andere, die ich jetzt nicht verrate).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


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gruebl
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-12


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)2021-05-12 11:53 - tactac in Beitrag No. 4 schreibt:
Du willst doch nicht beweisen, dass $0$ und $K$ Ideale sind, sondern, dass ein Körper nur diese Ideale hat, was bedeutet: Wenn $I \subseteq K$ ein Ideal ist, ist $I=0$ oder $I=K$.
Ein Tipp dafür: Beweise zunächst folgendes Lemma:
Lemma 0. Sei $R$ ein Ring und $I\subseteq R$ ein Ideal. Falls nun $1 \in I$, folgt $R \subseteq I$.

Deine Aussage folgt dann ganz einfach aus einer Anwendung dieses Lemmas, der Körperdefinition und einer Anwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten (jedoch nicht auf die Frage, ob $1 \in I$, sondern auf eine andere, die ich jetzt nicht verrate).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)

Muss ich nicht dafür zuerst zeigen, dass es ein Nullideal gibt? Dann muss ich doch zeigen I=0.
Im nächsten Schritt zeige ich dann, sei I ungleich 0. Dann ... und so folgere ich dass I = K. oder nicht?



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Riemannifold
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-12


Dass das Nullideal ein Ideal ist, ist ein Einzeiler, der mit der Definition des Ideals schnell gemacht ist.



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-12


2021-05-12 11:59 - gruebl in Beitrag No. 5 schreibt:
Muss ich nicht dafür zuerst zeigen, dass es ein Nullideal gibt? Dann muss ich doch zeigen I=0.
Nein. Das Nullideal gibt es erstens immer, zweitens ist die Frage danach irrelevant.

Im nächsten Schritt zeige ich dann, sei I ungleich 0. Dann ... und so folgere ich dass I = K. oder nicht?
So ungefähr. Insgesamt, mit korrektem ersten Teil, machst du also eine Fallunterscheidung danach, ob ein Ideal das 0-Ideal ist, oder nicht. (Das ist die Anwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten, die ich angemerkt habe.)



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gruebl hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
gruebl hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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