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Universität/Hochschule Möbiustransformation
happy_hippo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-13


Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit der Abbildung  $f(z)=\frac{z}{| z|^2 }$und soll zeigen, dass Spheren nochmal auf Spüren abgebildet werden. Ich habe bereits herausgefunden, dass die Abbildung konform ist und es sich deshalb um eine Möbiustransformation handeln muss. Beim weiteren Suchen nach Hinweisen bin ich sogar auf einen Beweis gestoßen, den ich jedoch leider nicht so recht verstehe:

Habe ich es richtig verstanden, dass der Beweis in 3 Teile untergliedert worden ist? Ich verstehe wenn den ersten, aber der zweite und dritte Teil wirken für mich gerade recht zusammenhanglos.
Ich denke, dass hier die Abbildung in die Hyperebenengleichung eingesetzt worden ist, um damit zu zeigen, dass das Ergebnis wieder eine Hyperebene sein muss. Dann leuchtet mir die allerletzte Zeile allerdings auch nicht so ganz ein, wieso wird aus dem $q$ ein $v$?

Es wäre super nett, wenn ihr mir hierbei etwas weiterhelfen könntet.

Viele Grüße
happy_hippo



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Für mich sieht das aus wie ein Tippfehler.

Das letzte \( v\) müsste ein \( p\) sein.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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happy_hippo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-14


Vielen Dank Wally, dass du dir die Aufgabe angeschaut hast. Tut mir leid, wenn ich dich jetzt mit meinen Fragen "überfalle", aber weißt du vielleicht, warum das $|v|^2-pq>0$ hier vorausgesetzt wird.  $\{x \in \mathbb{R^n}:p|x|^2-2<x,v>+q=0\}$ ist ja die Lösungsmenge von Sphären bzw. Hyperebenen.  Geht daraus hervor, dass für $p=0$ folgt, dass $v\neq0$?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo h_h,

mach dir das am Besten selbst klar:

1. Der \( p=0\)-Fall ist eine Hyperebene und da sollte \( v\neq 0\) sein  (Warum?)

2. Beguck das im \( \IR^2\)

3. Man kann den ganzen Kram ja durchmultiplizieren, so dass \( p=1\) wird.

4. Schreib das jetzt in Koordinaten \( x=(x_1,x_2), v=(v_1,v_2)\) aus und mache eine quadratische Ergänzung.

5. Verstehe das Ergebnis.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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happy_hippo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-14


Vielen Dank Wally, ich konnte es jetzt nachvollziehen:)



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