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Integration » Riemannsche Summen » Integration: Riemann-Summen
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Universität/Hochschule J Integration: Riemann-Summen
Walross
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-14


Guten Abend,

ich benötige Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Seien $a,b\in\mathbb{R}$ mit $a<b$. Sei $(P_n)_{n=1}^{\infty}$ eine Folge von Partitionen von $[a,b]$, für die die Folge $(m_n)_{n=1}^{\infty}$ nicht gegen $0$ konvergiert, wobei $m_n$ die maximale Länge der Intervalle aus $P_n$ darstellt, d. h.: $m_n:=\max\{|J|~|~J\in P_n\}$.

Wir sollen nun eine Riemann-integrierbare Funktion $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ finden, für welche die Folge der Riemann-Summen $(\sum(f;P_n;\vec{\xi_n}))_{n=1}^{\infty}$ nicht gegen $\int_{[a,b]}{f}$ konvergiert.

Für $\vec{\xi_n}=(\xi_I)_{I\in P_n}$ mit $\xi_I\in I\in P_n$ haben wir die Riemann-Summe wie folgt definiert:

$\sum(f;P_n;\vec{\xi_n}):=\sum_{I\in P_n}{f(\xi_I)\cdot|I|}$


Für $\lim_{n\to\infty}{m_n}=0$ konvergiert die Folge der Riemann-Summen gegen den Wert des Riemann-Integrals, dies haben wir bewiesen.
Es geht bei der Aufgabe also darum zu zeigen, dass diese Voraussetzung unentbehrlich ist.

Dürfte man die Folge der Partitionen frei wählen, wäre die Aufgabe einfach. Es gibt dann viele offensichtliche Gegenbeispiele.

Wie kann man jedoch für den allgemeinen Fall (die Folge der Partitionen von $[a,b]$ sei beliebig aber fest) eine passende Funktion $f$ und eine Folge $(\vec{\xi_n})_{n=1}^{\infty}$ konstruieren?

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-14

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,

wenn man die $\xi_n$ frei wählen darf, dann kann man $f(x)=x$ zu einem Gegenbeispiel machen.

Benutze dazu, dass es nach Voraussetzung  ein $\varepsilon>0$ und eine Teilfolge $(m_{n_i})_{i\in \IN}$ von $(m_n)_{n\in \IN}$ mit $m_{n_i}>\varepsilon$ gibt.
\(\endgroup\)


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Walross
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-14


Hallo Nuramon,

vielen Dank für deine Hilfe.

Betrachten wir also $f:[a,b]\to\mathbb{R},x\mapsto x$.

Dann ist $\int_{[a,b]}{f}=\frac{1}{2}\cdot(b^2-a^2)$.

Ja, die Folge $(\vec{\xi_n)})_{n=1}^{\infty}$ darf man frei wählen.

Klar ist auch, dass für ein $\varepsilon>0$ eine Teilfolge $(m_{n_i})_{i=1}^{\infty}$ mit $m_{n_i}>\varepsilon$ existiert.

Wie kann man jetzt zeigen, dass die Folge der Riemann-Summen nicht gegen $\frac{1}{2}\cdot(b^2-a^2)$ konvergiert?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-14

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Wähle $\xi_I$ jeweils als das Minimum des Intervalls $I$. Und versuche dann eine obere Schranke für die Riemannsummen zu finden, die echt kleiner ist als das Riemannintegral.
\(\endgroup\)


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Walross
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-14


$I\in P_n$ muss nicht abgeschlossen sein, man könnte also lediglich das Infimum des Intervalls wählen, welches dann nicht in $I$ enthalten sein müsste.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-14

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Ok. Ist dir klar, wie mein Gegenbeispiel funktioniert, wenn das Infimum von $I$ jeweils in $I$ enthalten ist?

Für den allgemeinen Fall dürfte es auch ausreichen $\xi_I$ im linken Drittel von $I$ zu wählen.
\(\endgroup\)


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Walross
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-14


Nein, mir ist leider noch nicht klar, wie du abschätzen möchtest.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-14

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Jeder Summand in der Riemannsumme lässt sich nach oben durch das entsprechende Integral über $I$ abschätzen. Für das $I$ mit $|I|=m_{n_i} >\varepsilon$ findet man sogar noch eine stärkere Abschätzung.
\(\endgroup\)


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Walross
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-14


Also ich erhalte jetzt:

$\sum(f,P_n,\vec{\xi_n})$

$=\sum_{I\in P_n}{f(\xi_I)\cdot|I|}$

$=\sum_{I\in P_n}{f(\min(I))\cdot|I|}$

$=\sum_{I\in P_n}{\min(I)\cdot|I|}$

$\leq \sum_{I\in P_n}{\int_{I}{f}}$

$=\int_{[a,b]}{f}$


Wie geht die stärkere Abschätzung?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-14

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Für den Fall, dass $\xi_I=\inf I$  und $|I|=m_{n_i}$ ist, gilt (mach es dir geometrisch klar):
$\int_I x\d x - \xi_I |I|= \frac 12 |I|^2 \geq \frac {\varepsilon^2}2 $
\(\endgroup\)


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Walross
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Ok, dann erhalte ich für ein entsprechendes $I\in P_n$ letztendlich:

$\sum_{I\in P_n}{\min(I)\cdot|I|}\leq\int_{[a,b]}{f}-\frac{1}{2}\cdot\varepsilon^2$

Da $f$ stetig ist, können wir uns, falls $I$ ein echtes Intervall ist, also nicht nur aus einem einzelnen Punkt besteht, $\inf(I)$ von rechts nähern. D. h. $\xi_I=\inf(I)+\frac{1}{k}$ mit $k>\frac{1}{|I|}$, dann ist $\xi_I\in I$. Für $k\to\infty$ bleiben die Ungleichungen dann erhalten.

Das klappt. Herzlichen Dank, Nuramon!



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