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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Endomorphismen
Autor
Universität/Hochschule Endomorphismen
Pathfinder
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 29.04.2021
Mitteilungen: 138
  Themenstart: 2021-05-16

Hallo, wir beschäftigen uns gerade mit Endomorphismen und da kommt mir die Frage auf: Ist nicht eigentlich jede Matrixmultiplikation ein Endomorphismus?(Man darf ja nur Matrizen ,die aus den selben Vektorräumen stammen miteinander im klassischen Sinne multiplizieren) Und wenn nein, bitte ich um ein Gegenbeispiel.

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nzimme10
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Wohnort: Köln
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-16

Im Kontext der linearen Algebra meint man mit Endomorphismus eine lineare Abbildung eines Vektorraums auf sich selbst. Sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $K$ und $\dim(V)=n\in \mathbb N$. Ein Endomorphismus von $V$ ist dann also eine lineare Abbildung $V\to V$. Sei nun $A\in K^{n\times n}$. Dann definiert $$ \varphi_A\colon K^n\to K^n, \ v\mapsto Av $$ eine lineare Abbildung und damit einen Endomorphismus von $K^n$, aber nicht unbedingt von $V$. Es stellt sich jedoch heraus, dass $V\cong K^n$ und damit, dass jeder Endomorphismus $V\to V$ durch Wahl einer Basis einen Endomorphismus $K^n\to K^n$ induziert. Um nochmal auf deine Frage zurückzukommen: Matrixmultiplikation ist in diesem Kontext nichts anderes als die Verkettung von linearen Abbildungen. Wenn $A,B\in K^{n\times n}$ und $\varphi_A,\varphi_B$ wie oben sind, dann haben wir $$ \varphi_{AB}=\varphi_A \circ \varphi_B. $$ LG Nico

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zippy
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Mitteilungen: 5147
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-16

Eine Matrix $\in K^{m\times n}$ beschreibt eine lineare Abbildung $K^n\to K^m$. Um einen Endomorphismus kann es sich also nur handeln, wenn $m=n$ und die Matrix somit quadratisch ist. --zippy [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

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Pathfinder hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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