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Analysis » Topologie » Menge auf Zusammenhang und Wegzusammenhang untersuchen
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Universität/Hochschule Menge auf Zusammenhang und Wegzusammenhang untersuchen
lisa11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-18


Hallo ich sitze momentan an einer Aufgabe, bei der ich nicht so richtig weiter komme. Ich habe so eine ähnliche Übungsaufgabe gefunden und versucht anhand dieser die Aufgabe zu lösen, doch bin auch da nicht zum Ziel gekommen. Vielleicht kann mir ja hier jemand helfen.

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Vielen Dank schon mal im Vorraus
Liebe Grüße
Lisa




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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-18


Hallo Lisa :)

Wenn man möchte kann man das etwas leichter zeigen. Sei $S$ deine Menge (die man auch "topologist's sine curve" nennt). Sei weiter
$$ S^+:=\lbrace (x,\sin(1/x)) \mid x\in (0,1)\rbrace.
$$ Dann gilt offenbar $S\subseteq \overline{S^+}.$ Nun ist die Funktion $x\mapsto (x,\sin(1/x))$ stetig auf der zusammenhängenden Menge $(0,1)$ und damit $S^+$ zusammenhängend.
Zusammengefasst haben wir also, dass $S^+\subset \mathbb R^2$ zusammenhängend ist und es gilt
$$ S^+\subseteq S \subseteq \overline{S^+}.
$$ Kommst du damit weiter? Du müsstest jetzt noch ein paar Argumente liefern, aber von hier ist es nicht mehr weit um zu zeigen, dass $S$ zusammenhängend ist.

LG Nico



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lisa11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-18


Hallo Nico,
erstmal danke für die schnelle Antwort. Ich probiere jetzt mal weiter zu machen, würde aber wieder mit A_2 und so schreiben, weil ich das überall in meinen Notizen so habe. Ich hoffe das stört dich nicht ;)

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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-19


Hallo Lisa,

ich finde deine Argumentation nach wie vor etwas kompliziert, denn man muss nicht unbedingt zeigen, dass dann auch der Abschluss einer zusammenhängenden Menge zusammenhängend ist (was natürlich aber richtig ist). Am Ende behauptest du dann einfach, dass daraus folgt, dass auch $A$ zusammenhängend ist. Genau das wäre ja aber zu zeigen bzw. nochmal etwas genauer zu begründen. Deshalb hatte ich folgende Aussage im Kopf, die auch allgemein gilt und direkt den Beweis von "$\overline{A_2}$ ist zusammenhängend" mit einschließt:

$\textbf{Lemma.}$ Sei $(X,\mathcal T)$ ein topologischer Raum und $A\subseteq X$ zusammenhängend. Falls $A\subseteq B \subseteq \overline{A}$, so ist auch $B$ zusammenhängend.

$\textbf{Beweis.}$ Angenommen $B$ wäre nicht zusammenhängend. Dann gibt es in $B$ offene Mengen $U,V\subseteq B$ mit $U,V\neq \emptyset$, $U\cap V=\emptyset$ und $U\cup V=B$. Damit gilt
$$ U\cap \overline V=\overline U \cap V=\emptyset.
$$ Weiter gilt $A\subseteq U$ oder $A\subseteq V$, denn sonst wäre $U\cap A\neq \emptyset$ und $V\cap A\neq \emptyset$ und damit wären $U,V$ offen in $A$ und disjunkt mit
$$ (U\cap A)\cup(V\cap A)=(U\cup V)\cap A=A
$$ im Widerspruch dazu, dass $A$ zusammenhängend ist. O.B.d.A. sei also $A\subseteq U$. Dann gilt offenbar auch $\overline A\subseteq \overline U$. Da außerdem $V\cap \overline U=\emptyset$, folgt $\overline A\cap V=\emptyset$ und damit insgesamt, dass
$$ V=B\cap V\subseteq \overline A\cap V=\emptyset,
$$ im Widerspruch zu $V\neq \emptyset$.

LG Nico



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lisa11
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-19


Hi Nico,
ich glaube ich habe es jetzt verstanden.
Zu zeigen, dass die Menge nicht wegzusammenhängt ist für mich kein Problem. Vielen Dank für deine Hilfe :)
Liebe Grüße Lisa



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-20


Gerne :)



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