Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionen » Die Spur jeder Kurve schneidet den Rand
Autor
Universität/Hochschule Die Spur jeder Kurve schneidet den Rand
Einhalbstein
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 22.05.2021
Mitteilungen: 5
  Themenstart: 2021-05-22

Könnte mir jemand erklären wie man diese Aufgabe löst? Es sei $\emptyset\neq M\subset R^n$ eine echte Teilmenge, deren Inneres nicht-leer ist. Weiter seien $x_0$ ein innerer Punkt von $M$ und $x_1$ ein innerer Punkt von $M^{\complement}$. Zeigen Sie, dass die Spur jeder Kurve, die $x_0, x_1$ als Anfangs-bzw. Endpunkt hat, den Rand $\partial M$ schneidet.


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9274
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-22

Hallo Einhalbstein, herzlich willkommen auf dem Matheplaneten! Vesuche doch mal, den Zwischenwertsatz anzuwenden. Viele Grüße Wally


   Profil
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7130
Wohnort: Milchstraße
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-22

Hallo, ist das nicht eine Verallgemeinerung des Jordanschen Kurvensatzes? Falls das so ist, ist es wohl mit dem Zwischenwertsatz nicht so einfach zu lösen. Grüße StrgAltEntf EDIT: Das eine hat mit dem anderen wohl nicht so viel zu tun


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 709
Wohnort: Köln
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-23

Hallo, Man kann den Fakt nutzen, dass $\operatorname{int}(M), \ \operatorname{ext}(M)=\operatorname{int}(M^c)$ und $\partial M$ eine Partition von $\mathbb R^n$ bilden. Sei $\gamma\colon [0,1]\to \mathbb R^n$ eine Parametrisierung solch einer Kurve, also $\gamma(0)\in \operatorname{int}(M)$ sowie $\gamma(1)\in \operatorname{ext}(M)$. Angenommen $\gamma([0,1])\cap \partial M=\emptyset$. Dann hat man $$ [0,1]=\gamma^{-1}(\operatorname{int}(M))\cup \gamma^{-1}(\operatorname{ext}(M)). $$ Daraus ergibt sich schnell ein Widerspruch. LG Nico


   Profil
Einhalbstein
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 22.05.2021
Mitteilungen: 5
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-23

nzimme10 danke für den Hinweis! Ich habe jetzt folgendermaßen meinen Widerspruch erhalten: Ich habe aber die Parametrisierung $[a,b]$ verwendet. $\gamma$ ist stettig dann folgt dass für alle offenen Teilmengen $O\subseteq R^n$ ist $f^{-1}(O)\subseteq [a,b]$ offen. Insbesondere ist dann $\gamma ^{-1}(M^{\circ})$ und $\gamma ^{-1}((M^c)^{\circ})$ offen, dann muss aber auch $\gamma ^{-1}(M^{\circ})\cap \gamma ^{-1}((M^c)^{\circ})=[a,b]$ offen sein, woraus der Widerspruch folgt. Ist das die richtige Argumentation? Viele Grüße


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 709
Wohnort: Köln
  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-23

Hallo, Nein das stimmt so noch nicht. Wieso gilt $$ [a,b]=\gamma^{-1}(\operatorname{int}(M))\cap \gamma^{-1}(\operatorname{ext}(M))? $$ Beachte außerdem, dass das Intervall $[a,b]$ in $[a,b]$ (also $[a,b]$ versehen mit der Teilraumtopologie der euklidischen Topologie von $\mathbb R$) offen ist. Also selbst wenn diese Gleichung stimmen würde, wäre das nicht der Grund für einen Widerspruch. Du bist aber schon nah dran. Du hast richtig gezeigt, dass $\gamma^{-1}(\operatorname{int}(M))$ und $\gamma^{-1}(\operatorname{ext}(M))$ in $[a,b]$ dann offen sind. Außerdem sind beide Mengen nichtleer (warum?) und disjunkt (warum?). Zudem gilt ja $$ [a,b]=\gamma^{-1}(\operatorname{int}(M))\cup \gamma^{-1}(\operatorname{ext}(M)). $$ Erkennst du den Widerspruch nun? LG Nico


   Profil
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46411
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-23

Hi Einhalbstein, dieselbe Aufgabe wurde schon hier gestellt. Gruß Buri


   Profil
Einhalbstein
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 22.05.2021
Mitteilungen: 5
  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-23

Hallo Nico, ich habe mich wohl vertippt, ich habe die Mengenvereinigung gemeint. Ahhh Okay, Es gilt ja $M^{\circ}\cap (M^c)^{\circ}=\emptyset$ Dann folgt ja $\gamma ^{-1}(M^{\circ})\cap \gamma ^{-1}((M^c)^{\circ})=\emptyset$ Und die beiden Mengen sind nicht leer weil die Voraussetzung vorgibt dass das innere von $M$ nicht leer ist. Da $\gamma$ stetig ist, ist $\gamma ^{-1}(M^{\circ})\neq \emptyset \neq \gamma ^{-1}((M^c)^{\circ})$ Da jetzt aber $[a,b]$ zusammenhängend ist folgt der Widerspruch? Viele Grüße


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 709
Wohnort: Köln
  Beitrag No.8, eingetragen 2021-05-24

Hallo, die Begründung warum die beiden Mengen nichtleer sind ist nicht korrekt bzw. zu ungenau. Auch im vorletzten Satz, was meinst du da mit "Da $\gamma$ stetig ist, ist ..."? Ansonsten: Genau, der Widerspruch in meinem letzten Beitrag ist dann, dass $[a,b]$ nicht zusammenhängend wäre. LG Nico


   Profil
Einhalbstein
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 22.05.2021
Mitteilungen: 5
  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-24

Hallo Nico, wie wäre die Korrekte Begründung dass die beiden Mengen nicht leer sind? Ich meinte da $\gamma$ stetig ist, sind die beiden Mengen nicht leer. Alles klar, danke! Dann habe ich diesen Teil zumindest verstanden. Viele Grüße


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 709
Wohnort: Köln
  Beitrag No.10, eingetragen 2021-05-24

Hallo, was hat die Stetigkeit damit zu tun? Wir haben gefordert, dass die Kurven vom Inneren von $M$ in das Innere von $M^c$ verlaufen. Daher haben wir gefordert, dass $\gamma(a)\in \operatorname{int}(M)$ und $\gamma(b)\in \operatorname{int}(M^c)$. Folglich gilt $a\in \gamma^{-1}(\operatorname{int}(M))$ und $b\in \gamma^{-1}(\operatorname{int}(M^c))$. LG Nico


   Profil
Einhalbstein
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 22.05.2021
Mitteilungen: 5
  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-24

Hallo Nico, ahhh okay danke, ich stand wohl irgendwie zu sehr aufm Schlauch 🙄 Danke danke nochmal für die Hilfe! Du hast mir echt weitergeholfen. Viele Grüße


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 709
Wohnort: Köln
  Beitrag No.12, eingetragen 2021-05-24

Hallo, gerne. Einen schönen Feiertag noch😉 LG Nico


   Profil
Einhalbstein hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Einhalbstein wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]