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Strukturen und Algebra » Moduln » Als K[X]-Modul zerlegbar, gdw als VR f reduzibel
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Universität/Hochschule J Als K[X]-Modul zerlegbar, gdw als VR f reduzibel
levin_chich
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  Themenstart: 2021-05-24

Hallo, kann mir jemand einen Tipp bezüglich der folgenden Aufgabe geben? Wir haben einen Vektorraum V, welcher vermöge eines Endormorphismus f auf V zu einem K[X] Modul wird. Nun soll ich zeigen: V ist als Modul genau dann zerlegbar, wenn er als Vektorraum f reduzibel ist. Ein kleiner Tipp würde mir womöglich schon helfen. Edit: Ich fange einfach mal an mit "=>" Sei also V als K[X] Modul zerlegbar. Dann gibt es zwei nichttriviale Untermoduln U, W so dass gilt: \(V=U\oplus W\). Ich muss im Wesentlichen zeigen, das \(f(u)\in U\) und \(f(w)\in W\) für alle \((u,w)\in U\times W\). Irgendwie geht es nun nicht mehr weiter. :( Danke euch! Levin!


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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-24

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, wiederhole die Definition von Untermoduln und mach dir klar, wie $K[X]$ auf $V$ operiert.\(\endgroup\)


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levin_chich
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-24

Hallo, K[X] operiert auf V mittels f. Soll heißen: \((K[X],V)\rightarrow V\), \((p,v)\mapsto (pf)(v)=p(f)(v)\). Die Potenzen von f sind dann entsprechend die Kompositionen von f mit sich selbst. Zunächst ist ja \(v=u+w\) mit eindeutigen u, w. Nun gilt: \(f(v)=f(u+w)=f(u)+f(w)=(pf)(v)+(pf)(w)\) mit \(p(X)=X\). Da aber U und W selbst Untermoduln sind, sind sie bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen. Demnach muss aber auch \((f(u),f(w))\in U\times W\) gelten. Was zu zeigen war. Jetzt fehlt aber noch, dass der Vektorraumschnitt von U und W leer ist. Das wäre die Hinrichtung. Jetzt fehlt die Rückrichtung.


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Nuramon
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-24

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon Jetzt fehlt aber noch, dass der Vektorraumschnitt von U und W leer ist. \quoteoff Leer ist der Schnitt sicherlich nicht. Und das soll er auch nicht sein. Die Aussage mit dem Schnitt bezieht sich letztendlich nur auf die zugrunde liegenden Mengen der Untermoduln/Unterräume. Sowohl für die Hin- als auch die Rückrichtung braucht man eigentlich nur die Aussage, dass ein Untermodul des Moduls $V$ das gleiche ist wie ein $f$-invarianter Unterraum des Vektorraums $V$.\(\endgroup\)


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levin_chich
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-24

- Der Schnitt sollte der Nullraum sein. - War denn meine Hinrichtung so ok? Nun zur Rückrichtung: Der VR V sei also f reduzibel. D.h., es gibt UVR U, W so dass gilt: - \(U \cap W=\textbf{0}\) - V=U+W - \(f(U)\subset U\) und \(f(W)\subset W\) Es muss gezeigt werden, dass die K[X]-(Modul)Zerlegung \(V=U\oplus W\) gilt. Ehrlich gesagt, weiß ich gar nicht wie ich hier ansetzen soll. Ist es so offensichtlich? Vielen Dank für die Hilfe.


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Nuramon
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-24

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Ja, die Hinrichtung ist ok. $f$-reduzibel heißt: Der Vektorraum $V$ lässt sich als direkte Summe von zwei $f$-invarianten Unterräumen schreiben. $V$ ist als Modul zerlegbar heißt: $V$ lässt sich als direkte Summe von zwei Untermoduln schreiben. Wenn du dir klar machst, dass eine Teilmenge $U\subseteq V$ genau dann ein Untermodul ist, wenn $U$ ein $f$-invarianter Unterraum ist, dann ist die zu zeigende Äquivalenz beinahe offensichtlich.\(\endgroup\)


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levin_chich
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-24

Ok. Dann muss also nur noch die Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation mit K[X] gezeigt werden. Hierfür reicht es aber die Abgeschlossenheit bezüglich der Monome \(f^{i}\)zu zeigen. Das fogt aber tatsächlich aus der f Invarianz, da \(f^{i+1}(U)\subset f^{i}(U)\). Edit: vorher stand hier Blödsinn. Danke Nuramon! Levin


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