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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Sesquilinearform nicht ausgeartet
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Universität/Hochschule J Sesquilinearform nicht ausgeartet
Mathler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-24


Hallo lieber Matheplanet, leider komme ich bei einem Unterpunkt einer Aufgabe nicht weiter.

Ich soll folgendes zeigen:
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LG Mathias



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semasch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-28


Moin Mathler,

ich weiß nicht, ob deine Frage für dich noch aktuell ist, da sie doch schon ein paar Tage auf dem Buckel hat, aber ich antworte trotzdem mal.

Für $\dim(V) < \infty$ gilt bekanntlich $\dim(V) = \dim(V^*) = \dim(V^{**})$ sowie die kanonische Isomorphie von $V$ und $V^{**}$ vermöge der Einbettungsabbildung
\[\iota: V \to V^{**}, x \mapsto (\iota(x): x^* \mapsto x^*(x)),\] die jedem $x \in V$ das zugehörige Punktauswertungsfunktional zuordnet. Man kann also $V$ und $V^{**}$ vermöge $\iota$ miteinander identifizieren.

Nimmt man selbige Identifikation vor, so gilt für $x \in V$ die Beziehung
\[\ker d_{\sigma}(x) = \{y \in V: d_{\sigma}(x)(y) = 0\} = \{y \in V: \iota(y)(d_{\sigma}(x)) = 0\} = d_{\sigma}(x)^°,\] und damit weiter
\[\bigcap_{x \in V} \ker d_{\sigma}(x) = \bigcap_{x \in V} d_{\sigma}(x)^° = d_{\sigma}(V)^°,\] wobei für eine Teilmenge $A \subseteq V^*$ der Ausdruck $A^° \subseteq V^{**}$ wie üblich den Annullatorraum von $A$ bezeichnet. Ist $A$ sogar ein Unterraum von $V^*$, so gilt wegen $\dim(V^*) < \infty$ die Beziehung
\[\dim(A^°) = \dim(V^*) - \dim(A).\]
Wenn du diese Resultate nun auf den Unterraum $A := d_{\sigma}(V)$ anwendest und die bereits gezeigte Äquivalenz aus Aufgabenteil b) ausnutzt, siehst du dann vielleicht einen Weg, die dir noch fehlende Äquivalenz zu beweisen?

LG,
semasch



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Mathler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-30


Hallo Semasch,
erstmal danke für deine Antwort.

Hab es dann doch noch so ähnlich wie du hinbekommen.

Lg Mathler



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Mathler hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Mathler hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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