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Universität/Hochschule J Qubit-Rotation
Mandacus
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  Themenstart: 2021-05-25

Hallo, ich bin leider bei einer Aufgabe steckengeblieben, bei der es um Qubit-Rotationen geht. https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/46688_Qubit-Rotation.jpg Das Problem liegt hier bei b). Ich habe $(\hat{U}(d \alpha \vec{n}))^{\dagger} =1+\frac{1}{2} i d \alpha \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}}$. Dann folgt $$ (\hat{U}(d \alpha \vec{n}))^{\dagger} \hat{\vec{\sigma}} \hat{U}(d \alpha \vec{n}) = \left(1+\frac{1}{2} i d \alpha \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}} \right) \hat{\vec{\sigma}} \left(1-\frac{1}{2} i d \alpha \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}} \right) \\ = \hat{\vec{\sigma}} -\frac{1}{2} i \hat{\vec{\sigma}} (d \alpha \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}}) +\frac{1}{2} i (d \alpha \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}}) \hat{\vec{\sigma}} +\frac{1}{4} (d \alpha \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}}) \hat{\vec{\sigma}} (d \alpha \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}}) $$ Nun wollte ich die Ausdrücke $\hat{\vec{\sigma}} (d \alpha \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}})$ und $(d \alpha \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}}) \hat{\vec{\sigma}}$ berechnen. Hier erhalte ich $$ \hat{\vec{\sigma}} (d \alpha \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}}) = \begin{pmatrix} \hat{\vec{\sigma}}_1 \\ \hat{\vec{\sigma}}_2 \\ \hat{\vec{\sigma}}_3 \end{pmatrix} d \alpha \sum_{j=1}^3 n_j \hat{\vec{\sigma}}_j $$ und $$ (d \alpha \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}}) \hat{\vec{\sigma}} =d \alpha \sum_{i=1}^3 n_i \hat{\vec{\sigma}}_i \begin{pmatrix} \hat{\vec{\sigma}}_1 \\ \hat{\vec{\sigma}}_2 \\ \hat{\vec{\sigma}}_3 \end{pmatrix} $$ Wenn ich nun exemplarisch den ersten Eintrag ausrechnen möchte, erhalte ich unter Benutzung des Hinweises und der Eigenschaften des Levi-Civita-Symbols $$ \hat{\vec{\sigma_1}} d \alpha \sum_{j=1}^3 n_j \hat{\vec{\sigma}}_j =d \alpha 2i (n_2 (- \hat{\sigma}_3+\hat{\sigma}_2 \hat{\sigma}_1) +n_3 (\hat{\sigma}_2+\hat{\sigma}_3 \hat{\sigma}_1)) $$ und $$ d \alpha \sum_{i=1}^3 n_i \hat{\vec{\sigma}}_i \hat{\vec{\sigma_1}} =d \alpha 2i (n_2 (\hat{\sigma}_3+\hat{\sigma}_1 \hat{\sigma}_2)) +n_3 (- \hat{\sigma}_2+\hat{\sigma}_1 \hat{\sigma}_3) $$ Man erhält dann $$ -\frac{1}{2} i \hat{\vec{\sigma}} (d \alpha \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}}) =d \alpha (n_2 (- \hat{\sigma}_3+\hat{\sigma}_2 \hat{\sigma}_1) +n_3 (\hat{\sigma}_2+\hat{\sigma}_3 \hat{\sigma}_1)) $$ und $$ \frac{1}{2} i (d \alpha \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}}) \hat{\vec{\sigma}} =- d \alpha (n_2 (\hat{\sigma}_3+\hat{\sigma}_1 \hat{\sigma}_2)) +n_3 (- \hat{\sigma}_2+\hat{\sigma}_1 \hat{\sigma}_3) $$ Allerdings scheinen sich, wenn man die Ausdrücke aufaddiert die Terme der Form $\hat{\vec{\sigma}}_i \hat{\vec{\sigma}}_j$ nicht rauszukürzen, sodass ich nicht auf den Term $d \alpha \vec{n} \times \hat{\vec{\sigma}}$ komme. Kann mir jemand sagen wo meine Fehler sind?


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traveller
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-25

Hallo, Dein Hauptfehler dürfte sein, dass etwa $$[\sigma_1,\sigma_2]=\sigma_1\sigma_2-\sigma_2\sigma_1=2i\sigma_3$$ ist, also der Vorfaktor $2i$ nur rechts steht und nicht auch noch beim $\sigma_2\sigma_1$. Übrigens vergisst du die Terme mit $\sigma_1\sigma_1$, welche sich bei deinem Vorgehen erst in der Summe wieder wegkürzen würden. Du machst dir das Leben allerdings deutlich einfacher, wenn du die beiden Terme zuerst summierst, bevor du das Levi-Civita-Symbol anwendest. Denn dann stehen die Kommutatoren direkt da. Übrigens: $\sigma_i$ ist jeweils kein Vektor mehr, da sollte kein Pfeil stehen.


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