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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Unitäre Matrizen unitär ähnlich
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Universität/Hochschule J Unitäre Matrizen unitär ähnlich
Talvin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-05-26


Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe gemacht und möchte gerne wissen, ob ihr mit der Lösung soweit einverstanden seid:

fed-Code einblenden

Beweis:
$"\impliedby"$: klar

$"\implies"$: Wenn A und B ähnlich sind, haben sie dieselben Eigenwerte. Außerdem sind $f: x \mapsto Ax,\ g: x \mapsto Bx$ unitäre Abbildungen über $\IC$, und man kann den Spektralsatz auf diese Abbildungen anwenden.
Es gibt also ONBs X, Y von V, die aus Eigenvektoren zu f, g bestehen, maW gibt es unitäre Basiswechselmatrizen $S_1, S_2$ sodass:
$$S_1^{-1}AS_1 = D\\
  S_2^{-1}BS_2 = D$$ für eine Diagonalmatrix D, welche gerade die EW von f bzw. g (die ja gleich sind) auf der Diagonalen hat. Man muss hier vllt. noch die Basen passend sortieren, aber ich denke man kann davon ausgehen, dass die Diagonalmatrix dieselbe ist.
Jetzt kann man umstellen und erhält z.B.
$$ A = S_1S_2^{-1}BS_2S_1^{-1} $$ also sind A und B unitär ähnlich, denn die unitären Matrizen bilden eine Gruppe. qed.


Falls der Beweis soweit i.O. ist, würde mich noch interessieren, wie man an die zweite Fragestellung (im reellen Fall) herangehen könnte. Das gleiche Argument funktioniert ja so erstmal nicht, weil der Spektralsatz nicht anwendbar ist, aber das schließt natürlich noch nicht aus, dass es ein anderes Argument geben könnte.
Uns fällt da aber jedenfalls bisher nichts zu ein, weder dafür noch dagegen.


Danke schonmal!
LG Tim


(Bosch, Lineare Algebra, 7.5 Aufgabe 5, für die, die das irgendwann vllt. mal suchen, es gibt ja leider kaum Lösungen im Buch)



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-26


Hallo,

der Spektralsatz findet auch bei orthogonalen Matrizen Anwendung. Er sagt ja gerade aus, dass eine quadratische Matrix $A$ genau dann normal ist, wenn sie unitär diagonalisierbar ist.

LG Nico



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Talvin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-26


Hallo Nico,

im Buch wurde der Spektralsatz für Endomorphismen bewiesen, deren charakteristisches Polynom über <math>\IK</math> zerfällt.
Das ist über <math>\IC</math> klar, aber ich verstehe nicht, warum ich den Satz auch über <math>\IR</math> anwenden können sollte, bzw. warum das scheinbar für Matrizen nicht weiter wichig ist?
Kannst du das nochmal erklären?




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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-26


Hallo Talvin,

Ich vermute jetzt, dass die Frage in der Aufgabe aber eher ist ob auch die folgende Aussage gilt:

Zwei orthogonale Matrizen $A,B\in \mathbb R^{n\times n}$ sind genau dann ähnlich, wenn sie orthogonal ähnlich sind.

Ist das die Frage?

LG Nico



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Talvin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-26


Also die Frage habe ich wörtlich übernommen, aber ich denke ja, das ist gemeint.



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-26


Dann denk am besten mal darüber nach, was das für orthogonale Matrizen bedeutet, wenn sie ähnlich sind. Die Frage ist ja nur noch: Wenn zwei orthogonale Matrizen ähnlich sind, sind sie dann auch orthogonal ähnlich?

LG Nico



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Talvin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-26


Hallo Nico,

naja das ist ja gerade die Frage, auf die wir keine Antwort finden.

Die Matrizen sind sicherlich immernoch unitär ähnlich, aber weiter stehen wir leider etwas auf dem Schlauch..

Lg Tim



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-26


Hallo,
im reellen Fall funktioniert die Argumentation ähnlich zu der im Themenstart. Wir müssen das $D$ aber eventuell anders wählen. Und zwar ist $D$ eine Blockdiagonalmatrix mit Blöcken $\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}$ für jedes komplex-konjugierte Paar von nichtreellen Eigenwerten $c\pm is$ und Blöcken $[1]$ und $[-1]$ für die Eigenwerte 1 bzw. -1.

Also im Prinzip ersetzt du nur jeden Block
$\begin{bmatrix}c+is&0\\0&c-is\end{bmatrix}$ in der komplexen Zerlegung durch $\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}$.

Das ist die reelle Schurzerlegung.



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-05-26


Hallo,

In Ergänzung zu Ochens Antwort:

Für orthogonale Endomorphismen gibt es auch eine Normalform. Wenn das in deiner Vorlesung bereits behandelt wurde, dann kann man auch darüber argumentieren.

LG Nico



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Talvin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-27


Hallo,

danke für eure Antworten, ja die Normalform gab es tatsächlich, danke für den Hinweis auch an oochen.
Unsere Argumentation sähe dann so aus:

Wenn A und B ähnlich sind, haben sie dasselbe charakteristische Polynom und nach einem Satz im Buch ist die Normalform bis auf Vertauschung der Blöcke eindeutig durch dieses bestimmt (Anzahl der $\pm$ Einerblöcke und Anzahl und Winkel der Drehmatrizen) und es gibt dann ONBs $X, Y$, sodass f, g bezüglich dieser Basen dieselbe Normalform D haben, also zum Beispiel

$$D = {_X}f_X = {_X}id_e\cdot{_e}f_e\cdot{_e}id_X = {_X}id_e\cdot A\cdot{_e}id_X$$
Ab hier sollte es eigentich so wie im ersten Beitrag beschrieben laufen; A und B sind orthogonal ähnlich zu D (die Basiswechselmatrix zwischen ONBs ist orthogonal) und dann auch A und B zueinander.


Einverstanden?

Wenn ja, war das auch das, worauf du von Anfang an hinaus wolltest Nico?
Sonst würde mich ein anderer Ansatz auch interessieren.

Lg Tim



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-05-27


Hallo,

Nein ich wollte nicht unbedingt auf irgendwas bestimmtes hinaus am Anfang. Aber genau so hätte ich jetzt argumentiert über die Normalform. Wichtig ist dabei natürlich noch zu erwähnen, dass die Basiswechselmatrix in diese ONB tatsächlich eine orthogonale Matrix ist.

LG Nico



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Talvin
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Gut das habe ich ja gemacht, vielen Dank nochmal👍



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