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Mechanik » Theoretische Mechanik » Euler-Gleichungen eines freien Kreisels linearisieren
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Universität/Hochschule J Euler-Gleichungen eines freien Kreisels linearisieren
S3bi
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  Themenstart: 2021-05-27

Hallo zusammen, wir haben einen freien Kreisel mit Hauptträgheitsmomenten \(I_1, I_2, I_3\) und für die Winkelgeschwindigkeiten ergibt sich\(\Omega_1(t) = \Omega_0 + \omega_1(t); \Omega_2 (t) = \omega_2(t); \Omega_3(t) = \omega_3(t)\). Wobei \(\Omega_0\) eine Konstante ist und \(\omega_i\) eine kleine Störung des Systems ist. Nun sollen wir die Eulergleichungen linearisieren und eine allgemeine Lösung angeben. Ich hätte jetzt meine EG aufgestellt mit \(I_1 \dot \Omega_1 = \Omega_2 \Omega_3 ( I_2-I_3)\)etc. und dann die Definitionen von oben eingesetzt. Aber ich weiß nicht, was ich da dann wie linearisiere. Würde mich über Rückmeldung freuen :) Schöne Grüße S3bi


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Spock
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-27

Hallo S3bi! \quoteon(2021-05-27 09:45 - S3bi im Themenstart) ... Ich hätte jetzt meine EG aufgestellt ... \quoteoff Das ist doch schonmal eine gute Idee. Wenn Du das tust, tauchen ja dann in den Produkten \Omega_j \Omega_k die Produkte \w_j \w_k der kleinen Störgrößen auf. Die darfst Du vernachlässigen, Du behälst also nur Größen, die linear in den \w 's sind Schreib das mal explizit hin, und wenn es dann noch Probleme gibt, einfach nochmal melden. Grüße Juergen


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S3bi
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-28

Hallo Juergen, ich habe die Gleichungen: \[ I_1 \dot \Omega_1 = \Omega_2 \Omega_3 ( I_2-I_3) \\ I_2 \dot \Omega_2 = \Omega_3 \Omega_1 ( I_3-I_1) \\ I_3 \dot \Omega_3 = \Omega_1 \Omega_2 ( I_1-I_2) \] Welche ich dann umforme zu: \[ I_1 \dot \omega_1 = \omega_2 \omega_3 ( I_2-I_3) \\ I_2 \dot \omega_2 = \omega_3 \Omega_0 + \omega_3 \omega_1 ( I_3-I_1) \\ I_3 \dot \omega_3 = \Omega_0 \omega_2 + \omega_1 \omega_2 ( I_1-I_2) \] Welche Terme darf ich denn dann vernachlässigen? \(\Omega_0\) ist ja eine Konstante. Die anderen \(\omega_i\) sind ja je von der Zeit abhängig, aber dann quadratisch. Schmeiße ich den Term mit der Konstante weg? und warum?


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Spock
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-28

Hallo S3bi, hattest Du das ok-Häkchen aus Versehen gesetzt? "Wegwerfen" darfst Du nach dem Einsetzen der Näherungen in die Euler Kreiselgleichungen die Produkte \w_2 \w_3~=0 \w_1 \w_3~=0 \w_1 \w_2~=0 Denn wenn jedes \w für sich klein ist, dann sind es Produkte davon allemal. Trotzdem stimmen danach Deine Umformungen nicht mehr. Wenn Du die obigen Vernachlässigungen machst, bleiben die folgenden drei DGLs übrig: I_1 \w^*_1=0 I_2 \w^*_2=(I_3-I_1) \Omega_0 \w_3 I_3 \w^*_3=(I_2-I_1) \Omega_0 \w_2 Rechne das bitte nochmal nach. Die erste DGL ist schnell gelöst, die beiden anderen DGLs sind gekoppelt. Mit einem kleinen Trick kann man sie entkoppeln, und danach ist auch deren Lösung nicht mehr schwer. Melde Dich einfach, wenn Du nicht weiterkommst. Grüße Juergen


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S3bi
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-02

Hallo Juergen, hatten uns das dann auch so überlegt gehabt. Dann ging die Aufgabe recht einfach. (Ich musste eigentlich nur die Aufgabe genau genug lesen) Vielen Dank trotzdem :) Schöne Grüße S3bi


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S3bi hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
S3bi hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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