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 Drehmatrizen in R^3 |
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Gengar
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 |  Themenstart: 2021-05-29
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Hallo liebes Matheforum,
wir betrachten den \(\mathbb{R}^3\) sowie einen zweidimensionalen Unterraum \(W\). Sei \(R\) eine Rotation in \(W\). Dann kann man \(R\) zu einer Rotation in \(\mathbb{R}^3\) fortsetzen, in dem man \(Rx = x\) für alle \(x\) \(\in\) \(W^{\perp}\) setzt. Ist eine Basis \(B={(b_1, b_2, b_3)}\) mit \(b_1\) \(\in\) \(W^{\perp}\) und \(b_2, b_3\) \(\in\) \(W\) gewählt, dann ist die Matrix, die die Abbildung \(R\) repräsentiert, gegeben durch
\(A\)\(=\) \( \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & cos\theta & -sin\theta \\
0 & sin\theta & cos\theta \\
\end{array}
\right)\)
Dazu hätte ich eine Frage. Bezüglich der Basis handelt es sich doch nur dann um eine Rotation, wenn die Basisvektoren orthogonal sind und zumindest die Gleiche länge haben? Im Buch wird das nicht erwähnt, aber wähle ich irgendeine Basis wie oben beschrieben, kann es passieren dass die Abbildung gar nicht abstandserhaltend ist?
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-29
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Hallo,
\quoteon(2021-05-29 15:25 - Gengar im Themenstart)
...Dazu hätte ich eine Frage. Bezüglich der Basis handelt es sich doch nur dann um eine Rotation, wenn die Basisvektoren orthogonal sind und zumindest die Gleiche länge haben?
\quoteoff
Das tun sie doch. Rechne doch ersteinmal nach.
Gruß, Diophant
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Gengar
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-29
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-29
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\quoteon(2021-05-29 16:17 - Gengar in Beitrag No. 2)
Was tun sie?🤔
\quoteoff
Sie (die drei Spaltenvektoren der Matrix) haben allesamt Einheitslänge und stehen paarweise rechtwinklig aufeinander.
Gruß, Diophant
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Gengar
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-29
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Aber ich meine die Basisvektoren, nicht die Spaltenvektoren der Matrix.
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Gengar
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-29
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Es muss eine Orthonormalbasis gewählt werden, damit die Abbildung überhaupt eine Drehung darstellt oder nicht?
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Diophant
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-29
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\quoteon(2021-05-29 16:25 - Gengar in Beitrag No. 4)
Aber ich meine die Basisvektoren, nicht die Spaltenvektoren der Matrix.
\quoteoff
Achso (sorry...): dann hast du natürlich recht. Die angegebene Matrix würde in jeder Orthonormalbasis eine Drehung bewirken, in anderen Basen aber irgendetwas komplizierteres. Bzw. würden dort die Drehmatrizen entsprechend anders aussehen.
Das könnte man aber leicht mit Hilfe einer geeigneten Basiswechselmatrix realisieren. Also in die Standardbasis zurückwechseln, dann drehen und anschließend wieder in die ursprüngliche Basis wechseln.
Wenn man sich das klarmacht dann sieht man auch sofort ein, dass unabhängig von der Frage der Basis die Determinante der Drehmatrix stets 1 sein muss (was aber natürlich nur eine notwendige Bedingung und keine hinreichende ist).
\quoteon(2021-05-29 16:27 - Gengar in Beitrag No. 5)
Es muss eine Orthonormalbasis gewählt werden, damit die Abbildung überhaupt eine Drehung darstellt oder nicht?
\quoteoff
Hm. Eine orthogonale Basis mit gleich langen Basisvektoren tut es wohl auch.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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Gengar
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-29
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Wenn die Matrix allerdings orthogonal ist und determinante 1 hat, dann ist sie ja in der speziellen orthogonalen Gruppe und ist daher eine Drehmatrix bezüglich einer beliebigen Orthonormalbasis, oder?
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Diophant
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-05-29
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Hallo,
\quoteon(2021-05-29 16:47 - Gengar in Beitrag No. 7)
Wenn die Matrix allerdings orthogonal ist und determinante 1 hat, dann ist sie ja in der speziellen orthogonalen Gruppe und ist daher eine Drehmatrix bezüglich einer beliebigen Orthonormalbasis, oder?
\quoteoff
ja, aber so weit waren wir doch schon?
Gruß, Diophant
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