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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » "Fulminante" Mengen
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Universität/Hochschule J "Fulminante" Mengen
Schutze
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  Themenstart: 2021-05-30

Hi Leute, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53673_fulminant.png Es handelt sich um eine Aufgabe aus der theoretischen Informatik, aber ich dachte, dass sie hier vermutlich richtig aufgehoben ist. Es wird ja hier nicht geschrieben \ X_1 \subset\ X, sondern X_1 \el\ X Hier bin ich mir schon nicht sicher, ob ich es richtig interpretiere. Im Grunde genommen würde ich es hier so interpretieren, dass eine Menge nicht fulminant ist, wenn sie sich nur in eine endliche Anzahl von Teilmengen unterteilen lässt, also wenn die Potenzmenge endlich ist. Ist das so richtig? Demnach wäre ja: (a) nicht fulminant (b) nicht fulminant Bei (c) komme ich immer wieder zu einem anderen Schluss, je länger ich darüber nachdenke. Man könnte ja auch schreiben M = {M, M, M...} Die Menge würde aber ja trotzdem nur aus dem Element M bestehen, also sich selbst. Wenn ich jedoch sage: \ M = {M} X_0 = {M} X_1 = {M} X_2 = {M} ... erscheint es mir auch logisch, dass ...X_2 \el\ X_1 \el\ X_0 \el\ M Hier bin ich also recht ratlos. Bei (d) würde ich sagen, dass die Menge der nicht fulminanten Menge nicht endlich ist. Daraus würde ja entsprechend folgen, dass M selbst nicht endlich ist und somit fulminant sein sollte. Ich würde mich freuen, wenn jemand mir sagen kann, ob ich mich hier in eine völlig falsche Richtung bewege, oder ob das, was ich mir überlegt habt hier sinnvoll / richtig ist. Falls nicht, freue ich mich über Anregungen und Tipps. Viele Grüße


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-30

Hallo Schutze, die entscheidende Frage ist: Wie habt ihr eine "Menge" definiert. Im Allgemeinen gilt für Mengen die sog. Fundiertheit. Z. B. in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Dann kann es keine fulminante Menge geben. Insbesondere gibt es keine Menge M mit M = {M}. Außerdem wäre bei (d) M die Allklasse, also ebenfalls keine Menge,


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Schutze
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-30

Hallo StrgAltEntf, meines Wissens nach haben wir eine Menge überhaupt nicht auf eine bestimmte Art und Weise definiert und die Aufgabe passt auch nicht wirklich zum aktuellen Vorlesungsstoff (sprich wir befassen uns momentan nicht mit Mengen im Allgemeinen). Ich habe bislang nichts von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre noch von Fundiertheit allgemein gehört. Auch den Begriff Allklasse höre ich zum ersten mal. Dass M = {M} im allgemeinen nicht als Menge angesehen wird, habe ich auch schon gesehen, als ich versucht habe im Netz aus der Aufgabe schlau zu werden. Vielen Dank erst einmal für deine Antwort.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-30

Dann kann man hier nur fabulieren. Klar ist, dass die leere Menge nicht fulminant sein kann, da sie keine Elemente enthält. Wenn es eine Menge M mit M = {M} gäbe, dann ist sie fulminant. (Wähle \(X_0=X_1=...=M\).) Zu (d): Wenn M nicht fulminant wäre, so würde \(M\in M\) gelten. Also wäre M fulminant. (Wähle wieder \(X_0=X_1=...=M\).) Das ist ein Widerspruch. Also ist M fulminant. Daher gibt es \(...\in X_3\in X_2\in X_1\in X_0\in M\). Klar ist aber, dass dann auch \(X_0\) fulminant ist. Das ist aber auch ein Widerspruch, da alle Elemente von M nicht fulminant sein sollen. Zu (b): Hier stellt sich die Frage, was 42 ist. Könnte etwa 42 = M sein? Dann wäre M fulminant, siehe (c).


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Schutze
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-30

Okay, danke dir. Das hat sehr zu meinem Verständnis beigetragen. Viele Grüße


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-31

Ich habe ja den Verdacht, der Aufgabensteller wollte euch hier ein wenig veräppeln. Du kannst ja beizeiten mal berichten, wie sich das ganze auflöst.


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zippy
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-31

Auf diesem Übungsblatt ist das Ganze zumindest als Paradoxon deklariert.


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Schutze
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-31

@zippy ja, bei uns ebenfalls. Habe das einfach nur mit der Menge in Verbindung gebracht, die sich selbst als Element enthält. Im Nachhinein macht der Name aber vor allem bei Teilaufgabe (d) Sinn. @StrgAltEntf ja, das kann gut sein. Soll ja wenigstens einer Spaß mit den Aufgaben haben. Ich kann das gern nächste Woche mal auflösen, wenn die Aufgaben besprochen wurden.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-05-31

\quoteon(2021-05-30 11:49 - Schutze in Beitrag No. 2) Auch den Begriff Allklasse höre ich zum ersten mal. \quoteoff Die Allklasse ist einfach die Zusammenfassung aller Mengen zu einem Ganzen. Das kann aber keine Menge sein, da das zu ähnlichen Paradoxien wie bei (d) führen würde. Grüße StrgAltEntf


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Schutze
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-31

Es wurde jetzt nochmal folgendes Beispiel nachgereicht, welches die Sache verständlicher machen soll: Seien X0:={1},X1:={1,2,3},X2:={{1},{2},{3}},X3:=N={0,1,2,...},X4:={{x}∣x∈N }. Es gilt: 1 ∈ X0, 1 ∈ X1, 1 ∉ X2, 1 ∈ X3, 1 ∉ X4, X0 ∉ X0, X0 ∉ X1, X0 ∈ X2, X0 ∉ X3, X0 ∈ X4. Demnach müsste ja zumindest für M = {42} gelten, dass M nicht fulminant ist, oder?


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Schutze hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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