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  Gauß-Approximation |
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marcletzgus
Aktiv 
Dabei seit: 29.11.2019
Mitteilungen: 26
 |  Themenstart: 2021-06-01
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Hallo! Ich beschäftige mich momentan mit der Gauß-Approximation und habe ein paar kleine Fragen zu einem Beweis. Ich beziehe mich dabei auf diese kurze PDF (10 Seiten): https://ganymed.math.uni-heidelberg.de/~lehre/SS12/numerik0/7-approx-1.pdf
Es geht um den Satz 3.78:
Es sei $f \in C[a, b]$ und $S \subset C[a, b]$ ein endlich dimensionaler Unterraum. Auf $S$ sei durch $(.,.)$ ein Skalarprodukt und durch $\vert \vert \cdot \vert \vert$ die induzierte Norm gegeben. Dann ist $p \in S$ beste Approximation zu $f \in C[a, b]$ $\vert \vert f - p \vert \vert = \min\limits_{\phi \in S} \vert \vert f - \phi \vert \vert$, genau dann, wenn der Fehler $f - p$ orthogonal auf dem Raum $S$ steht: $(f - p, \phi) = 0\quad \forall \phi \in S$.
Ich habe zum letzten Schritt der "Hinrichtung" eine Frage, da ich eine Gleichung nicht verstehe. Die Frage schreibe ich ganz zum Schluss.
Die "Hinrichtung" habe ich außerdem viel detaillierter geschrieben, weil mir im Skript nicht ganz klar war, warum $F_{\phi}$ bei $t = 0$ ein Minimum besitzt. Ich hoffe, dass meine Version genauso richtig ist.
"$\Rightarrow$"
Die Hinrichtung habe ich viel detaillierter geschrieben, weil mir im Skript nicht ganz klar war, warum $F_{\phi}$ bei $t = 0$ ein Minimum hat. Ich hoffe, dass mein Beweis stimmig ist.
Sei $f \in C[a, b]$ und $p \in S \subset C[a, b]$ eine Bestapproximation von $f$, d.h. es gilt $\vert \vert f - p \vert \vert = \min\limits_{\phi \in S} \vert \vert f - \phi \vert \vert$.
Wir definieren für ein beliebiges $\phi \in S$ die Funktion $F_{\phi}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}, t \mapsto \vert \vert f - p - t \phi \vert \vert^{2}$.
Betrachte nun die Funktion $\gamma_{p, \phi}: \mathbb{R} \rightarrow S, t \mapsto p - t \phi$.
Für $t = 0$ erhalten wir $\gamma_{p, \phi}(0) = p - 0 \cdot \phi = p$, also die beste Approximation von $f$.
Für $t \neq 0$ erhalten wir irgend eine Approximation $\gamma_{p, \phi}(t)$ von $f$.
Das heißt, es gilt $ \vert \vert f - p \vert \vert = \min\limits_{\phi \in S} \vert \vert f - \phi \vert \vert = \vert \vert f - \gamma_{p, \phi}(0) \vert \vert \le \vert \vert f - \gamma_{p, \phi}(t) \vert \vert = \vert \vert p - t \phi \vert \vert$ für alle $t \in \mathbb{R}$
Und wenn $\vert \vert f - p \vert \vert \le \vert \vert p - t \phi \vert \vert$ für alle $t \in \mathbb{R}$ gilt, dann gilt natürlich auch $\vert \vert f - p \vert \vert^{2} \le \vert \vert p - t \phi \vert \vert^{2}$ für alle $t \in \mathbb{R}$
Also hat die Funktion $F_{\phi}$ bei $t = 0$ ein globales Minimum.
Das heißt aber auch, dass $t = 0$ eine Nullstelle der Ableitung von $F_{\phi}$ ist.
Bilden wir zunächst die Ableitung:
$\frac{\partial }{\partial t} F_{\phi}(t) = \frac{\partial }{\partial t} \vert \vert f - p - t \phi \vert \vert^{2} = \frac{\partial }{\partial t} ( f - p - t \phi , f - p - t \phi ) = - (f - p - t \phi, \phi) - (\phi, f - p - t \phi) $
Meine Frage ist nun: Wie kommt man auf die letzte Gleichung? Die habe ich jetzt einfach vom Beweis im Skript übernommen, aber ich komme alleine nicht drauf.
Würde mich auf eine Antwort sehr freuen.
mfg, Marc
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4651
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-01
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\quoteon(2021-06-01 00:59 - marcletzgus im Themenstart)
Wie kommt man auf die letzte Gleichung?
\quoteoff
Für die Ableitung des Skalarprodukts gilt die Produktregel,$$
{\mathrm d\over\mathrm dt}\,\bigl(u(t),v(t)\bigr) =
\bigl(u'(t),v(t)\bigr)+\bigl(u(t),v'(t)\bigr)\;,$$und außerdem ist $
{\mathrm d\over\mathrm dt}(f-p-t\phi)=-\phi$.
--zippy
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marcletzgus
Aktiv
Dabei seit: 29.11.2019
Mitteilungen: 26
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-04
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Hallo, vielen vielen Dank für die Antwort. Das hilft mir weiter. Ich frage mich aber nur noch, wie man auf diese Regel kommt. Die haben wir bis jetzt nie in irgendeiner Vorlesung hergeleitet.
Ich habe vor dem Posten der Frage versucht, das Skalarprodukt so zu zerbröseln, dass ich am Ende jedes $t$ "ausklammern" kann. Aber es gelang mir nicht, da ich nach dem Ableiten nicht auf das Ergebnis im Skript kam.
Selbiges gilt auch für $\frac{d}{dt} (f - p - t \phi ) = - \phi$.
Könnten Sie mir das noch freundlicherweise erklären?
mfg, Marc
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2244
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-04
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Betrachte
\[
\begin{align*}
\frac{1}{h}
\left[
\langle u(t+h),\, v(t+h)\rangle - \langle u(t),\, v(t) \rangle
\right] &=
\frac{1}{h}
\left[
\langle u(t+h),\, v(t+h)\rangle - \langle u(t),\, v(t+h)\rangle
\right]
+ \frac{1}{h}
\left[
\langle u(t),\, v(t+h)\rangle - \langle u(t),\, v(t)\rangle
\right] \\
&=
\left\langle
\frac{1}{h}
\left[
u(t+h) - u(t)
\right],\,
v(t+h)
\right\rangle
+
\left\langle
u(t),\,
\frac{1}{h}
\left[
v(t+h) - v(t)
\right]
\right\rangle
\end{align*}
\]
für $h\to 0$. Ich habe dabei $\langle \cdot,\cdot\rangle$ für das Skalarprodukt geschrieben. Das funktioniert völlig analog zur "normalen" Produktregel.
LG Nico
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marcletzgus
Aktiv
Dabei seit: 29.11.2019
Mitteilungen: 26
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-05
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Ah, super danke! Jetzt macht es Sinn. Natürlich muss davor vorausgesetzt werden, dass $u(t)$ und $v(t)$ differenzierbar sind. Aber das ist ja klar.
Ich habe noch zwei Fragen bezüglich der Funktion $f - p - t \phi$.
1.) Ist mit $f - p - t \phi$ einfach nur $f(x) - p(x) - t \phi(x)$ gemeint? Weil wenn man z.B. nur $p$ schreibt, ist für mich die gesamte Abbildung $p: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ gemeint.
Und die Variable, von der $f, p, \phi$ abhängt muss sich auch von $t$ unterscheiden.
2.) Woher weiß ich eigentlich, dass die Funktion $v: \mathbb{R} \rightarrow C[a, b], t \mapsto f(x) - p(x) - t \phi(x)$ differenzierbar ist? Ist auch ein bisschen komisch, da wir nie die Differenzierbarkeit von solchen Funktionen definiert haben. Wir haben nur die Differenzierbarkeit von Funktionen von $\mathbb{R}^{n}$ nach $\mathbb{R}^{n}$ kennengelernt.
Das verwirrt mich noch etwas...
mfg, Marc
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2244
Wohnort: Köln
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-05
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\quoteon(2021-06-05 03:08 - marcletzgus in Beitrag No. 4)
Ah, super danke! Jetzt macht es Sinn. Natürlich muss davor vorausgesetzt werden, dass $u(t)$ und $v(t)$ differenzierbar sind. Aber das ist ja klar.
Ich habe noch zwei Fragen bezüglich der Funktion $f - p - t \phi$.
1.) Ist mit $f - p - t \phi$ einfach nur $f(x) - p(x) - t \phi(x)$ gemeint?
\quoteoff
Nein. Für gewöhnlich meint man mit $f$ die Abbildung und mit $f(x)$ den Funktionswert von $f$ an der Stelle $x$. Das sollte man also auf jeden Fall streng unterscheiden.
\quoteon(2021-06-05 03:08 - marcletzgus in Beitrag No. 4)
2.) Woher weiß ich eigentlich, dass die Funktion $v: \mathbb{R} \rightarrow C[a, b], t \mapsto f(x) - p(x) - t \phi(x)$ differenzierbar ist?
\quoteoff
Das ergibt so keinen Sinn (siehe 1.)). Dein $v$ soll Werte in $C[a,b]$ annehmen, oder? Dann kann die Abbildung aber nicht $t \mapsto f(x) - p(x) - t \phi(x)$ sein, denn $f(x) - p(x) - t \phi(x)\notin C[a,b]$.
Die Differenzierbarkeit ist auf (unendlich-dimensionalen) normierten Räumen für gewöhnlich durch die sog. Fréchet-Ableitung erklärt.
LG Nico
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marcletzgus
Aktiv
Dabei seit: 29.11.2019
Mitteilungen: 26
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-05
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\quoteon
Nein. Für gewöhnlich meint man mit $f$ die Abbildung und mit $f(x)$ den Funktionswert von $f$ an der Stelle $x$. Das sollte man also auf jeden Fall streng unterscheiden.
\quoteoff
Ah stimmt, natürlich.
\quoteon
Das ergibt so keinen Sinn (siehe 1.)). Dein $v$ soll Werte in $C[a,b]$ annehmen, oder? Dann kann die Abbildung aber nicht $t \mapsto f(x) - p(x) - t \phi(x)$ sein, denn $f(x) - p(x) - t \phi(x)\notin C[a,b]$.
Die Differenzierbarkeit ist auf (unendlich-dimensionalen) normierten Räumen für gewöhnlich durch die sog. Fréchet-Ableitung erklärt.
LG Nico
\quoteoff
Okay, die Fréchet-Ableitung kannte ich noch nicht. Hatte zwar davon gehört, aber hatte mich damit nicht beschäftigt. Daher kam mir das ganze sehr komisch vor. Muss mich also erstmal damit befassen.
Vielen Dank für die Erklärung.
mfg, Marc
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marcletzgus hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
marcletzgus hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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