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Gengar
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 18.12.2020
Mitteilungen: 72
 |  Themenstart: 2021-06-01
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Lieber Matheplanet,
sei \(A\) eine orthogonale Matrix. Sind dann alle zu \(A\) ähnlichen Matrizen ebenfalls orthogonal?
Die Frage stelle ich, da dann, eine Matrix \(A\), die eine Drehung bezüglich einer Basis \(B\) beschreibt, dann auch bezüglich jeder anderen Basis \(B´\) eine Drehung darstellt.
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2797
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-01
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Hallo,
Durch einen Basiswechsel ändert sich die zugrundeliegende Abbildung ja nicht.
Allerdings muss $S^{-1}AS$ mit einem invertierbaren $S$ nicht unbedingt wieder orthogonal sein. Das ist genau dann der Fall, wenn der Basiswechsel zwischen Orthonormalbasen stattfindet.
LG Nico
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ochen
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-01
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Hallo,
\quoteon(2021-06-01 17:49 - Gengar im Themenstart)
sei \(A\) eine orthogonale Matrix. Sind dann alle zu \(A\) ähnlichen Matrizen ebenfalls orthogonal?
\quoteoff
nein, das ist leider nicht so, da die Eigenräume ja nicht erhalten bleiben.
betrachte $v_1,v_2\in\mathbb R^2$ mit $\det(v_1,v_2)\neq 0$ und $\langle v_1,v_2\rangle\neq 0$
\[(v_1,v_2)^{-1}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}(v_1,v_2)
\]
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Gengar
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Dabei seit: 18.12.2020
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-01
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Danke für die Antwort. Ich habe die Vermutung, dass die ähnliche Matrix \(A´\) genau dann wieder orthogonal ist, wenn die Basiswechselmatrix \(T\) orthogonal ist.
Die Abbildung, die die Matrix \(A\) darstellt, hängt doch stark von der Basis ab.
Die Drehgruppe beinhaltet ja alle orthogonalen Matrizen mit \(det = 1\). Man kann diese Matrizen mit Abbildungen indentifizieren, man muss dann aber doch aufpassen, bezüglich welcher Basis. Wähle ich eine ungünstige Basis, dann sind es ja keine Drehungen mehr?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Gengar
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Dabei seit: 18.12.2020
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-01
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54021_Screenshot_2021-06-01-18-27-40-817_com.miui.gallery_1_.jpg
aber dann ist das ja so nicht richtig, was da steht? Für eine beliebige ausgewählte Basis mit den obigen Bedingungen erhalte ich nicht unbedingt eine drehung. Ich kann ja \(x_3\) mit einem unfassbar großen Betrag wählen?
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
zippy
Senior 
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Mitteilungen: 5147
 | Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-01
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\quoteon(2021-06-01 18:31 - Gengar in Beitrag No. 4)
Für eine beliebige ausgewählte Basis mit den obigen Bedingungen erhalte ich nicht unbedingt eine drehung.
\quoteoff
Grove und Benson denken hier offenbar an eine Orthonormalbasis. Dass sie das nicht hinschreiben, ist eine Schlamperei, aber auch keine Grund, sich seit drei Tagen an diesem Punkt festzubeißen.
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