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| Autor |
  Optimierungsproblem |
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Max_Br
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 26.04.2021
Mitteilungen: 88
 |  Themenstart: 2021-06-05
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Hallo,
Ich verstehe nicht was unter globales und lokales Optimum verstehe kann.
Das Beispiel welches mir gegeben ist, ist:
\
min_(x\el\ \Omega) f(x) mit f:\IR^n ->\IR , n\el\ \IN, \Omega\subsetequal\ \IR^n
Was heißt das in dem Zusammenhang?
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Algebravo
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| Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-05
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Ein globales Maximum ist ein Funktionswert, in deinem Fall, wenn es für alle $x \in \mathbb{R}^n$, der größte Wert ist, den die Funktion überhaupt als Bild annimmt.
Lokal sind Maxima, wenn es sich in einem kleinen Bereich des Definitionsbereichs um den größten Funktionswert handelt. (Also ein klassisches Maximum ist, mit $f‘(x_E)=0$).
Ich habe dazu mal (im Kontext der Schulmathematik) ein Video gemacht, vielleicht hilft das, um zumindest die Begriffe zu durchschauen und dann auf kompliziertere Kontexte anzuwenden: https://youtu.be/5CiuPxNLCCU
Wichtig in Bezug auf deinen Kontext: Da wird der $\textbf{minimale}$ Funktionswert gesucht den die Funktion für $x\in\Omega\subset\mathbb{R}^n $ annimmt, nicht der maximale. Also geht es da eher um lokale Pessima (um globale Pessima geht es da gar nicht, weil du nicht den ganzen Definitionsbereich betrachtest, sondern nur eine Teilmenge.)
Grüße,
Algebravo
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4651
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-05
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\quoteon(2021-06-05 13:03 - Algebravo in Beitrag No. 1)
Also geht es da eher um lokale Pessima (um globale Pessima geht es da gar nicht, weil du nicht den ganzen Definitionsbereich betrachtest, sondern nur eine Teilmenge.)
\quoteoff
Du missverstehst den Unterschied zwischen lokal und global.
Im Startbeitrag kommmen die typischen Ingredienzien eines Optimierungsproblems vor: Es gibt es eine zu optimierende Funktion $f\colon X\to\mathbb R$ (im Startbeitrag ist $X=\mathbb R^n$) und eine Teilmenge $\Omega\subseteq X$ von zulässigen Lösungen.
Ein $\hat x\in X$ ist ein globales Minimum [bzw. Maximum], falls $\hat x\in\Omega$ und falls $f(\hat x)\le f(x)$ [bzw. $f(\hat x)\ge f(x)$] für alle $x\in\Omega$.
Ein $\hat x\in X$ ist ein lokales Minimum [bzw. Maximum], falls $\hat x\in\Omega$ und falls es eine Umgebung $U$ von $x$ gibt mit $f(\hat x)\le f(x)$ [bzw. $f(\hat x)\ge f(x)$] für alle $x\in U\cap\Omega$.
Der springende Punkt bei lokal ist, dass die Umgebung nicht vorgegeben ist (wie die Teilmenge der zulässigen Lösungen), sondern dass nur deren Existenz verlangt wird.
--zippy
PS Die Ableitung schreibt man in $\TeX$ als $f'$, nicht als $f‘$.
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Algebravo
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-05
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Ich würde nicht sagen, dass mir der Unterschied nicht klar ist.
Mir war einfach nur nicht klar, dass man auch für ein $x\in\Omega\subset\mathbb{R}^n$ von einem globalen Maximum (bzw. Minimum) sprechen kann. Ich dachte bisher, dass der Begriff „global“ nur in Bezug auf den gesamten Definitionsbereich definiert ist, und nicht auch auf Teilmengen des Definitionsbereichs anwendbar ist.
Danke für den Hinweis!
EDIT: Ich hätte aber natürlich schon in meiner ersten Antwort deutlich machen können, dass ein lokales Maximum nicht der höchste Punkt in einem “kleinen Bereich” ist, sondern dass an einem x-Wert ein lokales Maximum vorliegt, falls eine Umgebung existiert, in welcher der zugehörige y-Wert maximal ist.
Grüße,
Algebravo
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Max_Br
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-06
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Also ist ein Optimum bei Optimierungsproblemen die Extrema einer Funktion?
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Algebravo
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.04.2021
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Wohnort: Bielefeld
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-06
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(Vergiss das Wort Pessimum in Bezug auf Optimierungsaufgaben, eine kleine Recherche meinerseits hat herausgestellt, dass Minima und Maxima im Kontext von Optimierungsaufgaben gleichermaßen „Optimum“ genannt werden — da wurde ich von der Biologie fehlgeleitet.)
Also: Ein Optimum im Rahmen einer Optimierungsaufgabe ist, je nach Kontext, ein Maximum oder Minimum der Funktion. Das kann man an der zugrunde liegenden Aufgabe erkennen, ob die niedrigsten oder höchsten Punkte deiner Funktion im Kontext „optimal“ und damit gesucht sind.
Ebenfalls kann man in der Aufgabe herauslesen, ob es nur darum geht, lokale Optima zu finden, also diejenigen Punkte für die Umgebungen existieren in denen sie die höchsten [bzw. niedrigsten] Punkte der Funktion sind (das sind dann klassische Extrempunkte!) oder globale Optima, welche die höchsten [bzw. niedrigsten] Punkte für alle x in der Menge der zulässigen Lösungen sind.
(Man spricht dann auch von lokaler bzw. globaler Optimierung.)
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