| Autor |
  Rotationskörper um y-Achse |
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Tom999
Junior 
Dabei seit: 05.06.2021
Mitteilungen: 7
 |  Themenstart: 2021-06-05
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Liebes Mathe-Forum,
für meine Präsentationsleistung möchte ich eine Funktion f(x) um die y-Achse rotieren lassen, um das Volumen zu bestimmen und die konkrete Form zu erhalten. In allen Quellen wird für dieses Vorhaben angegeben, dass man dafür die Umkehrfunktion der Funktion f(x) bestimmen muss, allerdings kommt in diesen Fall ja ein ganz neuer Rotationskörper zustande.
Meine Frage ist nun: Was passiert wenn ich nicht die Umkehrfunktion bestimme und nur die Funktion f(x) um die y-Achse rotieren lasse?
Ich freue mich über jede Antwort und Hilfestellung :)
LG Tom
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traveller
Senior 
Dabei seit: 08.04.2008
Mitteilungen: 2712
|  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-05
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Hallo und willkommen im Forum.
Bei der Rotation um die $y$-Achse gilt doch einfach
$$V\approx\sum_{k=1}^n \pi\cdot x^2\cdot\Delta y\rightarrow\pi\int_a ^b x^2 dy=\pi\int_a ^b x^2 |f'(x)| dx\enspace,$$
wo kommt da eine Umkehrfunktion vor?
Ausserdem, nur weil in einer Formel eine Umkehrfunktion vorkommt heisst das doch noch nicht, dass man eine andere Funktion betrachtet, vielleicht "kommt es einfach so aus der Rechnung raus". Schau dir doch nochmals an, wie die Formeln hergeleitet werden. Wird evtl. das Ganze einfach um 90° gedreht und damit auf eine Rotation um die $x$-Achse zurückgeführt?
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Tom999
Junior
Dabei seit: 05.06.2021
Mitteilungen: 7
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-05
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Dankeschön für Ihre Antwort!
Ja da haben Sie recht. Ich habe mir wohl das Problem zu schwierig vorgestellt.
Ich wünsche Ihnen noch ein schönes Wochenende!🤗
LG Tom
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10673
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-05
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
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\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo zusammen,
@traveller:
\quoteon(2021-06-05 15:23 - traveller in Beitrag No. 1)
Bei der Rotation um die $y$-Achse gilt doch einfach
$$V\approx\sum_{k=1}^n \pi\cdot x^2\cdot\Delta y\rightarrow\pi\int_a ^b x^2 dy=\pi\int_a ^b x^2 |f'(x)| dx\enspace,$$
wo kommt da eine Umkehrfunktion vor?
\quoteoff
Indem du hier stillschweigend substituiert hast. Aus der üblichen Formel
\[V=\pi\int_{f^{-1}(a)}^{f^{-1}(b)}{[f^{-1}(y)]^2 \on{dy}}\]
wird ja durch die Substitutionen \(x=f^{-1}(y)\) und \(\on{dy}=f'(x)\cdot\on{dx}\) erst die von dir angegebene Formel.
@Tom999:
Zunächst herzlich willkommen hier im Forum! Du siehst: mit der Umkehrfunktion geht es auch (und das ist eigentlich nach meiner Kenntnis auch die bekanntere Version).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Tom999
Junior
Dabei seit: 05.06.2021
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-05
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Hallo nochmal,
@Diophant Dankeschön, dass Sie mich noch an die Intervallgrenzen erinnern und mir werden jetzt nach Ihren beiden Antworten die Zusammenhänge etwas klarer, warum es wohl einfacherer ist mit der Umkehrfunktion zu rechnen.
Vielen Dank für die Antwort🤗
LG Tom
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10673
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-05
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Hallo,
wenn das - wie du angegeben hast - für die Schule ist, würde ich unbedingt zur Variante mit der Umkehrfunktion raten.
Die Variante von traveller habe ich persönlich noch nie in einem Schulbuch gesehen (und ich habe im Lauf der Jahre schon einige Schulbücher in der Hand gehabt...). Insofern könnte das für unnötige Irritationen sorgen, auch wenn es natürlich richtig (und u.U. praktisch) ist.
PS: wir duzen uns hier eigentlich generell. 🙂
Gruß, Diophant
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Tom999
Junior
Dabei seit: 05.06.2021
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-05
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Hallo nochmal,
ja das ist für mein mündliches Abitur als Präsentation und deswegen gebe ich dir vollkommen recht und wende einfach nur die Umkehrfunktion an.
PS: Ich war mir unschlüssig, ob man sich hier duzt, aber jetzt weiß ich bescheid 😉
LG Tom
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traveller
Senior
Dabei seit: 08.04.2008
Mitteilungen: 2712
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-05
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Ich habe dies in der Schule noch so gelernt. Rechnerisch dürfte es in vielen Fällen einfacher sein, die Ableitung zu bilden, verglichen mit der Umkehrfunktion.
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10673
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-05
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@traveller:
\quoteon(2021-06-05 18:10 - traveller in Beitrag No. 7)
Ich habe dies in der Schule noch so gelernt...
\quoteoff
In D? ...
Gruß, Diophant
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traveller
Senior
Dabei seit: 08.04.2008
Mitteilungen: 2712
| Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-05
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Nein, in CH. War aber nicht in einem Schulbuch, der Lehrer hatte ein eigenes Skript. Dieses ging aber auch recht tief, es enthielt auch Bogenlänge und Mantelfläche.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10673
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-05
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\quoteon(2021-06-05 18:35 - traveller in Beitrag No. 9)
Nein, in CH. War aber nicht in einem Schulbuch, der Lehrer hatte ein eigenes Skript. Dieses ging aber auch recht tief, es enthielt auch Bogenlänge und Mantelfläche.
\quoteoff
Als Jugendlicher war ich (aus Baden-Württemberg stammend) oft in der (Ost-)Schweiz und viel mit Gleichaltrigen in Kontakt. Von daher wundert mich das jetzt gar nicht, ich habe dort in Sachen Mathe desöfteren Bauklötze gestaunt... 😉
Gruß, Diophant
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