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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Methode Ordinalzahlen ohne Mengenlehre zu konstruieren?
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Universität/Hochschule Methode Ordinalzahlen ohne Mengenlehre zu konstruieren?
Red_
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  Themenstart: 2021-06-07

Hallo, gibt es andere Konstruktionen der Ordinalzahlen, statt mittels Mengenlehre (transitive Menge etc.)? Die natürlichen Zahlen fasst man ja auch intuitiv nicht als Mengen auf, sondenr eher als Objekte, die zum Zählen geeignet sind. Was ich damit meine erkläre ich jetzt: Die Null soll ein abstraktes Konzept sein von ,,nichts ist vorhanden". Die Eins von ,,genau ein Gegenstand ist vorhanden" usw. Da man Mengenlehre als Foundation betrachtet hat damals (immer noch überwiegend?), hat man versucht die Existenz innerhalb von ZFC sicherzustellen, mittels der von Neumann Definition: $0=\lbrace \rbrace$ und man definiert $x+1 = x \cup \lbrace x \rbrace$ (1 ist nur ein Symbol) und führt dies immer weiter fort. Die Idee von ,,+1" ist, dass $x+1$ ein Element mehr als $x$ hat, und man es intuitiv als nächste Zahl zum Zählen betrachten kann. Das führt man immer fort, auch bis zu den Limesordinalzahlen. Aber wenn ich nichts von Mengenlehre weiß, weiß ich ja trotzdem von den natürlichen Zahlen. Geht das auch irgendwie mit Ordinalzahlen? Mittels Typentheorie, Kategorientheorie oder einfach intuitiv oder sonst irgendwas? Vielen Dank! Edit: Ursprung der Frage ist: Wenn es mathematische Objekte gibt, die nicht nur Mengen sind (wie es in der Mengenlehre gelehrt wird) bzw. nicht als Mengen angesehen werden sollten, dann sollte doch wohl die Konstruktion der Ordinalzahlen nicht irgendwie auf etwas bauen, was nur Mengen als Objekte akzeptiert. Die Ordinalzahl $\omega$ kommt wohl in der Algebra vor, wenn man z.B. den Kolimes von $X_0 \to X_1 \to X_2 \to \dots$ betrachtet. Oder bei konvergente Folgen $(x_n)_{n\in \IN}$, den Grenzwert als $x_{\omega}$ betrachtet.


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-07

Die (dünne) Kategorie der Ordinalzahlen ist eine Skelett der Kategorie der Wohlordnungen. Sprich, eine Ordinalzahl ist ein Isomorphietyp von Wohlordnungen. (Und eine Kardinalzahl ist ein Isomorphietyp von Mengen.) Meinst du so etwas? Aber um wirklich etwas über diese Kategorie zu beweisen (zum Beispiel dass für je zwei Ordinalzahlen $\alpha,\beta$ immer $\alpha \leq \beta$ oder $\beta \leq \alpha$ gilt, oder dass für jede Ordinalzahl $\alpha$ die Klasse $\{\beta : \beta < \alpha\}$ eine Menge ist), kommt man nicht um die üblichen Argumente herum. Transfinite Induktion und Rekursion hingegen sind auch für Wohlordnungen bzw. allgemeiner für wohlfundierte Relationen definiert.


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Red_
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-07

Hey Triceratops, danke für deine Nachricht :) Dein erster Satz lässt deuten, dass man schon die Ordinalzahlen mittels ZF- definiert hat, oder? Also dass man schon irgendwie mittels ZF davon gehört hat, es dann nur noch in der Sprache der Kategorientheorie verschleiert. Ich möchte das irgendwie andersherum haben. Geht das? Eigentlich bin ich zufrieden mittels Mengenlehre, da dies ja auch dem Konzept der natürlichen Zahlen gleichkommt, wie im Startbeitrag erklärt. Dein Beitrag ist außerdem sehr schön geschrieben, das verhilft mir zu einem größeren Überblick. Worauf ich hinaus will: Natürliche Zahlen kennt jedes Kleinkind. Kann man Ordinalzahlen auch so einführen, dass man nicht von Mengenlehre gehört haben muss?


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-07

Nein, ich meinte das so: Du kannst von der Kategorie der Wohlordnungen ausgehen und davon ausgehend Ordinalzahlen als Isomorphietypen von Wohlordnungen definieren. (Auch hier arbeitet man am besten mit Universen, um nicht mengentheoretische Probleme zu bekommen, was die Definition der Menge aller kleinen Ordinalzahlen angeht.)


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Red_
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-08

Hey, das habe ich mir auch gedacht, aber wenn ich mich nicht irre wählt man ja aus jeder Isomorphieklasse ein Element raus. Wäre hier nicht Axiom of global choice notwendig? Bei der normalen Definition von Ordinalzahlen benutzt man ja nicht mal AC. Und ich kenne den Begriff Universum nur als Synonym für ,,Klasse aller Mengen". Was genau meinst du mit Universum, und wo kann ich mich da einlesen? Vielen Dank! Edit: Noch eine Frage. In der Mengenlehre nimmt man ja aus der Isomorphieklasse eine bestimmte Wohlordnung, nämlich die, die transitiv ist und deren Elemente transitiv sind und vielleicht noch eine Bedingung. Macht man das so, weil die natürlichen Zahlen mit von Neuman's Defintion genau diese Eigenschaften haben?


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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-09

\quoteonUnd ich kenne den Begriff Universum nur als Synonym für ,,Klasse aller Mengen". Was genau meinst du mit Universum, und wo kann ich mich da einlesen? \quoteoff Ich meine Grothendieck-Universen. https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe \quoteonaber wenn ich mich nicht irre wählt man ja aus jeder Isomorphieklasse ein Element raus. \quoteoff Das muss man nicht tun. \quoteonWäre hier nicht Axiom of global choice notwendig? \quoteoff Nur, wenn du mit Klassen arbeitest. Aber das muss man nicht. \quoteonIn der Mengenlehre nimmt man ja aus der Isomorphieklasse eine bestimmte Wohlordnung, nämlich die, die transitiv ist und deren Elemente transitiv sind und vielleicht noch eine Bedingung. Macht man das so, weil die natürlichen Zahlen mit von Neuman's Defintion genau diese Eigenschaften haben? \quoteoff Ja, aber vor allem, weil es einfach eine kanonische Wahl ist und funktioniert. Für mehr Details siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number


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Red_
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09

\quoteon \quoteonaber wenn ich mich nicht irre wählt man ja aus jeder Isomorphieklasse ein Element raus. \quoteoff Das muss man nicht tun. \quoteoff Ach so, du willst also eine Ordinalzahl wirklich als Isomorphieklasse definieren und nicht als ein bestimmtes Objekt aus der Isomorphieklasse? Also es würde ja zwei Möglichkeiten geben, wenn man Letzteres versucht: Man definiert Ordinalzahlen via transitiven Menge etc. und sieht am Ende jede Wohlordnung ist in einer Isomorphieklasse einer Ordinalzahl. Oder man nimmt (was ich ursprünglich dachte) aus jeder Isomorphieklasse ein Objekt, was aber axiom of global choice benötigen würde. Könntest du vielleicht noch begründen, warum es für dich kanonisch ist und in welchem Sinne? Ich sehe, dass Wohlordnungen, wenn sie isomorph sind, sie sogar kanonisch isomorph sind. Aber welche Wohlordnung wählt man dann aus, um sie Ordinalzahl zu nennen? Vielleicht ist das eher irrelevant, da z.B. terminale Objekte ja auch eindeutig isomorph sind und man dort auch nicht unterscheidet, welches man nimmt. Wäre sehr schön deine Gedanken dazu zu sehen :)


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