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 Numerische Lösung der Wärmeleitungsgleichung |
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pli
Junior 
Dabei seit: 27.05.2021
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2021-06-08
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Hallo zusammen, ich habe gerade folgende Aufgabe vor mir die ich nicht verstehe:
Gegeben ist eine instationäre Wärmeleitungsgleichung:
\(\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{k}{c\rho}\frac{\partial^2T}{\partial x^2} - \frac{Uh}{Ac\rho}(T-T_\infty)\)
mit der Anfangsbedingung:
\(T(x,0)=T_\infty, \qquad 0 \leq x \leq L\)
und den Randbedingungen:
\(T(0,t)=T_0\) und \(-k\frac{\partial T}{\partial x}(L,t)=h(T(L,t)-T_\infty)\)
Die erste Teilaufgabe ist die folgende:
Multiplizieren Sie die Wärmeleitungsgleichung (1) mit der Dachfunktion \(v_i(x), 0 \leq i \leq N\). Intergrieren Sie nun beidseitig nach \(x, 0 \leq x \leq L\). Reduzieren Sie im Term
\(\int_0^L \frac{\partial^2T}{\partial x^2}v_i(x)dx = \dots\)
durch partielle Integration die Ordnung der Ableitung. Sie erhalten einen Randterm und als Integranden ein Produkt von 1. Ableitungen.
Notieren Sie die entstandene Gleichung als Zwischenresultat.
Dazu multipliziere ich zuerst \(v_i(x)\) mit der Wärmeleitungsgleichung:
\(\frac{\partial T}{\partial t}v_i(x) = (\frac{k}{c\rho}\frac{\partial^2T}{\partial x^2} - \frac{Uh}{Ac\rho}(T-T_\infty))v_i(x)\)
Danach multipliziere ich aus:
\(\frac{\partial T}{\partial t}v_i(x) = \frac{k}{c\rho}\frac{\partial^2T}{\partial x^2}v_i(x)- \frac{Uh}{Ac\rho}T v_i(x) + \frac{Uh}{Ac\rho}T_\infty v_i(x)\)
Ich versuche anschliessend die partielle Integration durchzuführen:
\( \int_0^L \frac{\partial T}{\partial t}v_i(x) dx = \frac{k}{c\rho} \int_0^L \frac{\partial^2T}{\partial x^2}v_i(x)dx - \frac{Uh}{Ac\rho} \int_0^L T(x,t)v_i(x)dx + \frac{Uh}{Ac\rho}T_\infty \int_0^L v_i(x) dx\)
\( \int_0^L \frac{\partial T}{\partial t}v_i(x) dx = \frac{k}{c\rho}([\frac{\partial T}{\partial x}v_i(x)]^L_0 - \int_0^L \frac{\partial T}{\partial x} \frac{\partial v_i}{\partial x} dx)- \frac{Uh}{Ac\rho} \int^L_0T(x,t)v_i(x)dx + \frac{Uh}{Ac\rho}T_\infty \int^L v_i(x)dx\)
Das war dann ja das Resultat die erste Teilaufgabe oder?
Jetzt die zweite Aufgabe:
Setzen Sie in Ihrem Zwischenresultat den Ansatz
\(T(x,t) = \sum_{k=0}^N a_k(t)v_k(x)\) mit dem unbekannten zeitabhängigen Koeffizienten \(a_k(t)\) für die unbekannte Temperatur \(T(x,t)\) ein.
Bringen Sie das entstandene DGL-System für die Koeffizienten \(a_k(t)\) in die Form
\(M\dot{a}+Sa=b\)
Notieren Sie in Ihren Lösungsunterlagen die System-Matrizen sorgfältig! (Vorsicht: Sie müssen die
System-Matrizen für das Randwertproblem etwas adaptieren!)
Da verstehe ich mit meinem beschränkten Verständnis zur Physik und DGL's nicht was ich tun soll. Wäre äusserst dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte
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