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Universität/Hochschule J Stetigkeit einer mehrdimensionalen Funktion
linuuus_g
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  Themenstart: 2021-06-09

Hallo, wir haben letzens in meinem Tutorium an der Uni eine Aufgabe gerechnet und nachdem ich nun etwa zwei Wochen später nochmal die Aufgaben durchgegangen bin, scheitere ich an der wohl vermeindlich einfachsten Teilaufgabe. Untersuchen Sie die Funktion: f(x,y)=cases(xy*(x^2-y^2)/(x^2+y^2),(x,y)!=(0,0);0,(x,y)=(0,0)) auf Stetigkeit im Nullpunkt. Ich hatte überlegt mit Hilfe einer Folge zu untersuchen ob mit \((x,y)\rightarrow (0,0)\), also beispielsweise \(\lim\limits_{n\to \infty}(\frac{1}{n},\frac{1}{n})=(0,0)\) auch \(f(x,y)\rightarrow 0\) folgt. So in die Richtung war meine Idee, aber ich kann gerade gar nicht einschätzen, ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin. Wenn mir jemand dabei auf die Sprünge helfen könnte, wäre das super. Viele Grüße Linus


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-09

Hallo und willkommen :) Mit dem Folgenkriterium die Stetigkeit zu zeigen ist eigentlich fast immer (Edit: sagen wir lieber öfters) sehr schwer bis de facto unmöglich. Die Stetigkeit zu widerlegen kann man damit jedoch machen. Wenn du eine Nullfolge findest, so dass die Bildfolge nicht gegen $0$ konvergiert so hast du die Stetigkeit widerlegt. Möchtest du die Stetigkeit in $0$ zeigen, dann musst du das aber für alle Nullfolgen nachweisen! Nicht nur für manche. (Und das gestaltet sich fast immer sehr schwierig.) Bei dieser konkreten Funktion würde ich die Stetigkeit in $0$ mittels $\varepsilon$-$\delta$-Definition nachweisen. LG Nico


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Diophant
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier auf dem Matheplaneten! Ich möchte zusätzlich einen gangbaren Weg per Folgenkriterium skizzieren. Man kann hier (es ist dazu aber eine Fallunterscheidung \(x^2>y^2\) bzw. \(x^2\le y^2\) nötig) den Betrag des Bruchs \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\) gegen 1 abschätzen. Damit wäre eine Argumentation per Folgenkriterium dann offensichtlich. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Stetigkeit' von Diophant]\(\endgroup\)


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linuuus_g
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09

Hallo Nico, hallo Diopant danke erstmal für die schnelle Antwort. Ich habe erstmal mit dem Epsilon-Delta-Stetigkeit rumprobiert und hatte bisher nur so semi Erfolg. Darum würde ich mich nun erstmal Diophants Weg widmen: Wenn ich es richtig verstanden habe müsste es so aussehen: 0<=abs(xy*(x^2-y^2)/(x^2+y^2))=abs(xy)*abs((x^2-y^2)/(x^2+y^2))<=abs(xy) Seien nun (x_n) und (y_n) Nullfolgen, dann folgt: lim(n->\inf,(x_n, y_n))=(0,0) und lim(n->\inf,abs(x_n*y_n))=0 Damit folgt dann auch: lim(n->\inf,abs(x_n y_n*((x_n)^2-(y_n)^2)/((x_n)^2+(y_n)^2)))=0 und damit ist f(x,y) stetig im Nullpunkt, da dann aus lim(n->\inf,(x_n, y_n))=(0,0), lim(n->\inf,f((x_n, y_n)))=0 folgt. Stimmt dieser Weg so? Gruß Linus [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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nzimme10
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-09

Der Vollständigkeit halber hier mein vorgeschlagener Weg: Sei $\varepsilon >0$ und $\delta:=\sqrt{\tfrac{\varepsilon}{4}}$. Für alle $(x,y)\in \mathbb R^2$ mit $\lVert (x,y)\rVert <\delta$, also insbesondere $|x|<\delta$ und $|y|<\delta$, gilt \[ \begin{align*} |f(x,y)-f(0,0)| &=\left|xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \right|=\left|\frac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2} \right|\leq \frac{|x^3y|+|xy^3|}{x^2+y^2} \\ &\leq \frac{|x^3y|}{x^2}+\frac{|xy^3|}{y^2}=2|xy|\leq (|x|+|y|)^2\leq 4\delta^2 \leq \varepsilon. \end{align*} \] LG Nico


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-09

Hallo, \quoteon(2021-06-09 12:26 - linuuus_g in Beitrag No. 3) Stimmt dieser Weg so? \quoteoff Das ist der Plan. 🙂 Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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linuuus_g
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-09

Super, vielen Dank euch beiden 😃 Viele Grüße Linus


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